[AUDIO EN BLANCO] Bienvenidos a la quinta semana, donde estudiaremos el equilibrio en redes de transporte. Para partir, comenzaremos estudiando cómo eligen rutas los usuarios en una red de transporte. Para ello, debemos estudiar cómo modelar estas redes de transporte. En general, ustedes han visto mapas como los que estamos viendo acá, donde vemos, por ejemplo, un mapa de metro, vemos un mapa de una red vial. En ellos aparecen calles, aparecen intersecciones. En general, los viajes no se realizan en un continuo desde cualquier origen a cualquier destino, se realizan sobre estas redes de transporte. Y como no podemos modelar todos los puntos orÃgenes y todos los puntos destino, lo que hacemos es agregarlos de una manera apropiada. Y para eso ocupamos redes, una topografÃa que se denomina grafo, que son abstracciones matemáticas que nos permiten representar estas redes de transporte. Un grafo está compuesto de nodos y arcos. Los nodos son aquellos, o vértices, son aquellos puntos a los cuales se unen por arcos. Y todos estos nodos y arcos van a tener caracterÃsticas distintivas en una red de transporte. TÃpicamente los nodos pueden representar intersecciones viales, podrÃan ser estaciones de transferencia entre modos, estaciones de metro, estaciones, paradas de bus, intersecciones viales, decÃamos. También podrÃamos representar como un nodo un aeropuerto o un puerto. Los arcos subconectan estos nodos de las redes de transporte. TÃpicamente son vÃas que permiten comunicarlo. PodrÃamos pensar, por ejemplo, en un túnel que une 2 estaciones de metro, una calle que une 2 intersecciones, etcétera. Y toda esta, esta representación nos va a permitir modelar la red fÃsica real y vamos a poner atributos asociados a cada uno de estos nodos y arcos. Para modelar una red de transporte tÃpicamente lo que hacemos es tomar una ciudad y dividirla en zonas. Y a cada una de esas zonas asignarles un centroide, que, como vimos en los capÃtulos de demanda, vamos a tratar de determinar cuál es la demanda por viajes generados y atraÃdos por cada una de estas zonas. Y en cada una de estas zonas vamos a conocer cuáles son las caracterÃsticas socioeconómicas, cuál es la cantidad de población que vive ahÃ, cuáles son los niveles de ingresos, cuál es la posesión de automóviles, cuántos trabajos hay ahÃ, cuántas matriculas escolares, cuántas matrÃculas universitarias, cuántos metros cuadrados dedicados a comercio, que son los que atraen viajes. Esas son las caracterÃsticas de las zonas y esas zonas se van a comunicar con unos nodos especiales que vamos a llamar centroides con la red de transporte. Veamos, entonces, cómo en una red de transporte tenemos la red vial, que son los arcos comunes de nuestra estructura fÃsica, los nodos de la red vial, pero además vamos a tener unos nodos especiales que tenemos acá marcados con unos triángulos pequeños, que se llaman centroides, donde vamos a concentrar todos los viajes que se generan y se atraen en una zona de la red de transporte o de la ciudad, y se van a conectar con la red vial por arcos especiales que se llaman conectores. Y esos conectores van a representar los tiempos y costos asociados a llegar desde el centro de esa zona o desde donde se concentran los viajes de esa zona a distintos puntos de la red de transporte. Y luego tenemos nodos viales sobre los cuales podemos, a través de arcos de la red vial, llegar a otros nodos y asà sucesivamente hasta llegar a un nuevo destino que, nuevamente, va a ser un centroide al cual queremos realizar el viaje. Entonces, ¿cómo eligen los usuarios las rutas que pueden tomar? Nosotros vamos a asumir como conocidas la cantidad de viajes que se quieren realizar entre cada uno de los pares origen destino de la red. Y la pregunta es ¿qué ruta escogen los usuarios? Y, finalmente, si sumamos las elecciones individuales de todos estos individuos en la ciudad, podemos ver finalmente cuántos son los viajes que tenemos en cada arco de la red, y dados nuestros modelos de flujo demora en los arcos de la red, podrÃamos determinar aproximadamente cuáles serÃan las demoras asociadas a transitar cada uno de los elementos de la red. Y para eso, necesitamos un modelo de comportamiento de cómo escogen rutas esos usuarios. Para poder, si tenemos un modelo de comportamiento que nos dice cómo escogen rutas los usuarios, entonces modelando el comportamiento de cada uno de nuestros individuos finalmente vamos a ser capaces de modelar agregadamente, sumando a todos ellos el total de la ciudad y tratar de entender cuál es el equilibrio. El caso más sencillo es que nos encontremos en una situación sin congestión. Si no hay congestión, los arcos de la red no van a ver afectados sus tiempos de viaje por la cantidad de viaje. Estamos hablando de una capacidad de viaje bastante inferior a la capacidad de los arcos y, por lo tanto, los tiempos de viaje no se ven afectados y los niveles de servicio que vemos son constantes. En este caso, no importa lo que hagan los otros usuarios del sistema. Uno va a escoger la ruta más corta para ir de un par origen a un destino. Y por lo tanto, en este, en este caso vamos a considerar que los usuarios escogen la ruta mÃnima para su par origen destino y considerando todas las rutas mÃnimas de pares origen destino, podemos sumar la cantidad de viajes que va a haber en cada uno de los arcos y, con eso, saber cuánto se van demorar. Ahora, esa demora no va a depender de lo que hagan los otros usuarios. Por lo tanto, directamente podemos saber cuál es el camino para ir de un par origen a un destino y cuánto es el tiempo y el nivel del servicio asociado a cada una de las rutas. En el caso con congestión es un poco más complejo, porque las selección va a depender de cuántos usuarios están ocupando cada una de las rutas. Por lo tanto, nuestros costos van a depender de los caminos que eligieron los otros usuarios. Y, por lo tanto, lo que estamos buscando es un equilibrio. Si lo pensamos y realizamos un viaje repetidamente todos los dÃas, nosotros no vamos a tener ningún incentivo a cambiarnos en la medida que no tengamos una alternativa mejor. Para efectos de nuestros análisis, vamos a considerar que los usuarios tienen información perfecta, que conocen todas las alternativas disponibles para ir desde su origen a su destino y van a escogen aquella que mejor, que más beneficios les da o que mejor los satisface. Por ejemplo, la que tenga menor tiempo de viaje si es que todas tienen igual costo. En este caso, lo que vamos a considerar es que dadas las elecciones de los demás usuarios, yo voy a escoger la mejor ruta para mÃ. En general, vamos a asumir, como decÃamos, que los usuarios tienen información perfecta y vamos a buscar un equilibrio de usuarios en que los usuarios se van a ir cambiando de ruta en la medida en que tengan rutas mejores. Vamos a llegar a un equilibrio cuando ningún usuario tenga la posibilidad de cambiándose unilateralmente mejorar sus condiciones. En resumen, lo que vimos hoy es que vamos a ocupar grafos para representar las redes de transporte, que vamos a tener principios de comportamiento de cómo los usuarios eligen su ruta y vamos a considerar 2 casos. El caso sin congestión, en que los costos de la ruta no dependen de lo que hagan los otros usuarios, cada usuario va a escoger la ruta mÃnima entre su par origen destino y va a escoger y eso nos va a entregar cuál es el camino que elige ese usuario y podemos determinar fácilmente cuál es el costo asociado a esa ruta, porque no depende de lo que hicieron los demás. En el caso con congestión, vamos asumir que vamos, que cada usuario se va a cambiar a una alternativa y que cada uno va a contar con información perfecta y mientras tenga una alternativa mejor, se va a cambiar. En la medida en que los usuarios no consigan mejores alternativas para realizar sus viajes, se van a quedar con la alternativa que tienen hasta ese instante.
