[MUSIC] Hola, continuamos con 4.13, régimen sinusoidal permanente. Y esta es importante, esta que viene es superimportante. Como veremos más adelante, toda señal puede ser construida como la superposición de señales de diferentes frecuencias, todas sinusoidales. Diferentes frecuencias, amplitud y fase, esto tiene que ver con el espectro de una señal. Por ejemplo, las señales de audio tienen diferente frecuencia. Y lo que ustedes están escuchando ahora es una mezcla de frecuencias y diferentes amplitudes. Y nosotros vemos todo esto en función del tiempo, pero también lo podemos ver en función de la frecuencia. Y la frecuencia es otro dominio tremendamente importante, que se relaciona en parte con Laplace y se relaciona muy bien con Fourier. Nosotros vamos a ver algo de eso más adelante. Lo importante es saber que existe el análisis de circuito en el dominio de la frecuencia, y eso es lo que vamos a ver ahora. Asumiendo que el circuito you tuvo su transiente, terminó el transiente, ¿y qué es lo que queda? Queda algo de una frecuencia, y esa respuesta de una frecuencia en particular es lo que vamos a analizar. Por eso es superimportante estudiar el comportamiento de circuitos excitados con fuentes puramente sinusoidales. Y las caracterÃsticas de estas señales. Partamos por algunos conceptos importantes. Vamos a hablar de valor eficaz, valor efectivo o valor RMS de una señal. Entonces imaginamos una señal, por ejemplo, una sinusoidal. Me quedó fea pero you se imaginan, es una sinusoide. Puede ser cualquier otra señal periódica, entonces, esto lo calculamos para señales periódicas. Un término que utilizaremos frecuentemente es el valor eficaz o root mean square. Root mean square, raÃz media cuadrado. El valor RMS nos será de interés al trabajar en régimen permanente y al representar voltajes y corrientes con fasores. Que es algo que vamos a ver en la videolección siguiente. Entonces, el valor RMS, root mean square, de una función f de t periódica, con periodo T se define de esta forma. Aquà está root, aquà está mean y aquà está square. Entonces de ahà viene el nombre de RMS, ¿y qué es RMS? En el fondo, RMS tiene que ver con la raÃz de un cuadrado, eso es como lo mismo, ¿no? Pero, primero elevamos al cuadrado la función, después integramos y dividimos por el tiempo. Entonces, estamos sacando el promedio del cuadrado, y a eso le calculamos raÃz. Qué es raro, ¿por qué? ¿Cuál es el sentido de esto? Bueno, el sentido es que en algún momento, vamos a empezar a calcular potencias promedio. Y cuando hablemos de potencias promedio, tener a mano el valor RMS de una función es superimportante. Porque el valor RMS se relaciona con la potencia promedio que esa señal estarÃa disipando en un elemento resistivo. Entonces, nosotros, a ver, si tenemos una señal sinusoidal en este instante va a disipar una potencia. En este instante va a disipar otra, en este instante va a disipar otra. Aquà se relacionan con el cuadrado del voltaje. Pero, si nosotros calculamos para un perÃodo el valor RMS, y tenemos ese valor. Entonces podemos calcular de manera mucho más fácil la potencia de esa señal. Y señales sinusoidales, señales triangulares, señales rectangulares y lo que sea, van a tener diferentes valores RMS. Porque van a impartir diferentes potencias promedio a un resistor. Entonces de ahà que es tan importante el valor RMS de una función. Podemos demostrar que el valor RMS de algunas señales que you hemos visto antes son los siguientes. Si hablamos de una sinusoidal con amplitud A, el valor RMS de la sinusoidal es A partido por raÃz de 2. Esto es un valor superimportante. De hecho, los 220 volts que hay en el enchufe son RMS. O sea, la amplitud llega más arriba que 220 volts. Por eso les digo que esto es muy importante. Una onda cuadrada va a tener valor RMS de amplitud A, porque imparte A e imparte una potencia relacionada con la amplitud A. Y cuando está en el semiciclo negativo, imparte una potencia A también, o relacionada con la amplitud A. Y una triangular tiene un valor RMS A partido por raÃz de 3. Este es super, super, super importante, quiero que lo anoten, quiero que se lo recuerden. Y esta fórmula, por supuesto, también es muy importante, aunque yo no la necesito, yo me la sé de memoria. Porque basta con saber que es R, M, M, S. Listo, uno se la aprende porque asà es al fin, porque está dicho en RMS. Esta clase va a ser larga, afÃrmense. ¿Qué caracterÃsticas tiene una sinusoide? Seguimos con algunas definiciones. Estas son definiciones relativas a señales sinusoidales. Entonces, vemos una sinusoide que tiene una forma de onda del estilo A coseno de omega t más fi. Y aquà se grafica con puntos suspensivos. Entonces, existe el concepto de frecuencia angular que es omega, se llama omega, letra griega omega. Y es 2 pi por f, donde f es la frecuencia en hertz, o sea, en ciclos por segundo. Esta está en ciclos por segundo, esta está en radianes por segundo. Y la conversión es esta que está acá. Esta, apréndansela, es super, super importante. Radian es adimensional, no tiene unidades asociadas. Entonces, radián podemos tener cosas como omega t, esto es adimensional, [COUGH] O está en radianes, pero radián es adimensional. Fase, se dice que A coseno de omega t más fi adelanta, En fi grados a la función A por coseno de omega t. Entonces, esta está adelantada, aquà la vemos. Aquà está graficada y está adelantada en fi grados. La amplitud, que también le llaman magnitud, pero el nombre correcto es amplitud. Nosotros vamos a llamarle indistintamente amplitud o magnitud. Tiene valor peak A, es el valor máximo, también le llamamos valor pico. Tenemos valor peak-to-peak, que es 2A, o también le llaman valor pico a pico. Este es el VPP, este es el VP, por ejemplo, voltaje pico, voltaje pico a pico. Después viene el valor RMS, que acabamos de aprender, que en este caso es A partido por raÃz de 2. O sea, el valor RMS serÃa como por ahÃ, más o menos. Y existen otros dos conceptos super importantes, que vamos a introducir ahora, pero no los vamos a usar casi nada en el curso. Uno es el retardo de fase, que es para señales que llevan mucha sinusoide. El retardo de fase se define como tau, esto es un tiempo, es un retardo de fase de fi en menos fi partido por omega. Es una definición, apréndansela. Este otro es retardo de grupo, que es tau retardo de grupo en -d fi a d omega. Y este es superimportante en señales de audio. Tiene que ver cuánto se retardan diferentes frecuencias al pasar por un sistema. Entonces, es bueno que empiecen a aprender que existen hartos términos relacionados con esto. Algún dÃa se van a acordar de mÃ. Okay, ahora lo importante de esta clase, régimen sinusoidal permanente. En un circuito bajo régimen sinusoidal permanente, solo nos interesa la amplitud y el desfase de cada señal. Entonces, la frecuencia va a ser la misma para todas, porque estamos asumiendo que hay una frecuencia de entrada. Y esa frecuencia excita una señal sobre diferentes componentes. Entonces, todos los componentes van a tener la misma señal. La solución forzada, la solución particular de la ecuación diferencial va a tener la misma frecuencia para toda la señal. Por lo tanto, omitamos la frecuencia, no hablemos de frecuencia. Preocupémonos de la amplitud y del desfase, que son las únicas variables importantes aquà porque la frecuencia es la misma. Entonces, hay dos razones para interesarnos en excitaciones sinusoidales, y esto en general, en la vida. Cualquier señal puede ser descompuesta en puras sinusoidales. Y la sinusoide corresponde a la forma de onda dominante en la industria de la potencia eléctrica. Entonces, hay razones muy potentes, ojo, ojo, ojo. Veamos qué ocurre al excitar un circuito de primer orden con una fuente sinusoidal de frecuencia angular omega igual 2 pi f. Entonces, aquà tenemos un circuito RSM. A seno de omega t, esto es omega, pero lo dibujamos como un w porque en ese momento no tenÃamos cómo graficar esto. Y después dice resistencia equivalente, capacitancia equivalente. Y aquà tenemos otro circuito donde tiene una fuente de corriente con RL. Entones podemos obtener la ecuación diferencial que va a ser de esta forma, dx(t) por 1 partido por tau, por x(t) = 1 partido por A, por tau, perdón, por A sinusoidal (omega t). Esa es la ecuación diferencial general, you sea para x voltaje o x corriente. La respuesta homogénea o natural you es conocida acá, por e a la -t, partido por tau. La respuesta particular o forzada va a ser una suma de una sinusoide. Y podemos llevar la sinusoide más un d a dt por sinusoide, o sea, coseno. Ahà es importante usar radianes, porque cuando usamos radianes no tenemos que convertir al sacar el omega hacia afuera del seno, al aplicar regla de la cadena. Entonces, obtenemos gama, esto es gama y delta, y que son estas dos que aparecen aquÃ. Los podemos obtener simplemente reemplazando, y llegamos a que esta es gama. Gama es A partido por 1 más tau cuadrado omega cuadrado, o sea, depende de la frecuencia. Y delta es -tau omega A, partido por 1, más tau cuadrado, omega cuadrado. Y lo que aparece aquà finalmente es el xp, la solución particular o forzada, es la amplitud partido por 1 + tau cuadrado omega cuadrado bajo raÃz. Después aparece por seno de omega t, menos el arcotangente de tau omega. Okay, y ¿qué significa esto? Esto significa que el resultado de mi ecuación diferencial va a ser una función sinusoidal. Ojo, aquà estamos calculando la parte forzada. No estamos mirando la solución homogénea o natural porque estamos asumiendo que el transiente you ocurrió. Entonces, esta la vamos a omitir. En régimen sinusoidal permanente, es régimen, you entró a régimen. you salió del transiente, entonces no miramos el transiente. Vamos a mirar solamente esto, y quiero que nos enfoquemos aquÃ. Aquà dice que la solución particular, o sea, el régimen sinusoidal permanente que estamos obteniendo, va a tener una amplitud que va ser función de la frecuencia. Y la constante de tiempo va a tener un seno de omega, el mismo omega t, y va a tener un desfase. Y ese desfase también es función de la constante de tiempo y la frecuencia. Entonces, podemos determinar cada que insisto en este caso, importa poco. Importa poco porque nos vamos a enfocar solamente en la parte del régimen sinusoidal permanente. No voy a ir sobre estas ecuaciones. Lo importante aquà es ver que la respuesta total en el tiempo va a tener una parte que decae, que está aquÃ, y va a tener una parte de régimen sinusoidal permanente. Y esto es lo que nos importa para estas clases, donde estamos hablando de régimen sinusoidal permanente. Y esta parte que decae en el tiempo, decae, es parte del transiente. Entonces, insisto, cuando dejamos pasar la respuesta transitoria o transiente, esto se va. Y nos quedamos con esto que es el régimen permanente. Y esto es lo que yo mencionaba antes que es superimportante. Lleva una parte que es una amplitud que depende de frecuencia y depende de constante de tiempo, y lleva una fase. Y la frecuencia es la misma, asà que no miramos la frecuencia porque you sabemos cuál es. Entonces, una vez que desaparece la respuesta homogénea, lo que significa que el tiempo que ha transcurrido es mucho mayor que la constante de tiempo. Nos queda la respuesta en régimen sinusoidal permanente, que es lo que yo decÃa que era importante para esta clase. Entonces, ¿cuál es el impacto de la frecuencia en el circuito? Todos los voltajes y corrientes del circuito son sinusoides, iguales que la excitación porque estamos hablando de régimen permanente. Y tienen todos frecuencia angular omega, misma frecuencia angular. La amplitud y el desfase dependen directamente de la frecuencia de la señal de la excitación. Régimen sinusoidal permanente en SPICE, guau. ¿Se puede ver en SPICE también? Eso es bueno. Comando .ac nos permite explorar qué es lo que ocurre en circuitos lineales en régimen sinusoidal permanente. Dije lineales, eso es muy importante. Entonces, lo que hace el .ac es realizar un barrido de frecuencia. ¿Se acuerdan que el .dc realizaba un barrido en un voltaje o en una corriente? Bueno, el .ac hace un barrido en frecuencia. Parte de una frecuencia inicial y termina en una frecuencia final con un intervalo. Y no toma en cuenta el transiente. O sea, en SPICE el .ac no mira esta parte, solo mira esto que está acá. Y, además, y esto no es importante para este curso pero es bueno que lo sepan, SPICE opera el .ac con circuitos lineales. Y si yo le meto un circuito no lineal, SPICE lo linealiza. Y si hay funciones no lineales entre medio, SPICE las convierte en lineales antes de aplicar régimen sinusoidal permanente. Es conveniente graficar frecuencias en escala logarÃtmica, porque vamos a ver que pasan cosas a diferentes escalas de frecuencia. Por ejemplo, lo que pasa a muy baja frecuencia puede tener una cierta resolución. Y lo que ocurre a muy alta frecuencia, tiene una resolución totalmente distinta. Y los cambios son muchos más lentos en el mismo rango de frecuencia. Entonces, lo que importa al final no es la frecuencia absoluta sino la razón entre frecuencias. Y por eso escalamos la frecuencia de alguna forma logarÃtmica. Entonces, miramos la frecuencia en escala logarÃtmica. Porque lo que ocurre a bajas frecuencias tiene mucha resolución y lo que ocurre a altas frecuencias tiene menos resolución. Más adelante vamos a ver que esto es superútil. Vamos a hablar de esto en diagramas de Bode, que es parte de otros capÃtulos. Entonces, aquà tenemos un circuito que es V1. Tenemos que tiene un voltaje en este nodo Vi y 0, y me dice AC. AC lo que me estás diciendo es que esto va a ser un estÃmulo para el análisis AC, y va a ser un estÃmulo de valor 1. ¿Qué significa eso? Que va a haber una frecuecia que tiene amplitud. Después dice R1, que va entre Vo y Vi y tiene un valor de 1 kilo. Y después viene un capacitor, capacitancia es C1, que tiene un valor de 1 microfarad, 1 microfarad. Y aquà viene la parte importante, SPICE ejecuta un comando .ac, ¿qué significa? Hace un barrido de las frecuencias de todas las fuentes que dicen AC. ¿Qué barrido? Bueno, hazlo por décadas. O sea, quiero que barras en década y muestres los resultados en escala de logaritmo. Entonces, va a tener la misma resolución en cualquier década. ¿Qué significa una década? Significa 10 por. O sea, si yo barro frecuencia entre 0, perdón [LAUGH] en 0, no puede haber frecuencia en 0. No existe la frecuencia 0, después tal vez podamos hablar por qué. Pero, piénsenlo un rato, ¿qué significa frecuencia 0? La frecuencia 0 no existe, existe una aproximación a frecuencia 0, que es lo hablamos regularmente. Entonces, décadas. Entonces, entre frecuencia 1 y 10 vamos tener una cierta resolución. Entre frecuencia 10 y 100, vamos a tener otra resolución. Entre frecuencia 100 y 1000, tenemos otra resolución. Entonces, vamos a hacerlo por décadas con 1000 puntos por década, entre 1 hertz y 1 megahertz. Entonces vamos desde un hertz con 1000 puntos, entre 1 y 10 hertz va a haber 1000 puntos. Entre 10 y 100 hertz va a haber 1000 puntos. Entre 100 hertz y 1000 hertz va a haber 1000 puntos, y asà sucesivamente. Veamos cómo se ve en SPICE. Entonces, aquà está el circuito, está you descrito. Y ejecutamos la simulación. En esta simulación, vamos a mirar Vi en la frecuencia. Entonces Vi, me lo muestra en decibeles. FÃjense que está en decibeles y me dice Vi vale siempre 0 decibeles. Veamos V out. ¿Qué significa 0 decibeles? Significa que vale 1, ese es el valor que le di, 0 decibeles es 1. Y si miramos V out, aquà está V out, V out está aquÃ. V out me dice que parte en 0 decibeles, o sea, que a baja frecuencia el voltaje del capacitor en régimen permanente va a seguir el voltaje de entrada. ¿Es verdad eso? SÃ, pues sÃ. Si la frecuencia es baja, la salida es A. Pero a medida que la frecuencia empieza a aumentar, voy aumentando la frecuencia. Este valor empieza a tomar mayor preponderancia y empieza a disminuir la amplitud. A mayores frecuencias, disminuye la amplitud. ¿Ven que está disminuyendo la amplitud? Y después disminuye un montón. FÃjense que las frecuencias van en escala logarÃtmica, 1, 10, 100, 1000, etc. Las amplitudes están en escala logarÃtmica también porque está en decibeles. Pues nosotros podrÃamos mostrarlo en escala lineal, y va a verse de esta forma en escala lineal. Entonces, esta curva que está aquà describe exactamente esta ecuación. Exactamente esa ecuación. Y la fase que está aquà en puntos, en lÃnea discontinua, describe lo que ocurre con el arcotangente de omega t. Guau, aprendimos hartas cosas hoy. Y seguimos aprendiendo, el espectro radioeléctrico. ¿Por qué nos interesa? Porque asà como existen señales con voltajes y con corriente, también existen señales con frecuencia. Y el espectro radioeléctrico nos permite transmitir esas frecuencias a través de campos electromagnéticos por el espacio. Y eso nos permite comunicarnos y permite el Wi-Fi, nos permite un montón de cosas. Y las bandas de frecuencia están definidas según esta tabla. Aquà están los rangos de diferentes bandas de frecuencia. Y aquà está en qué se utilizan. Por ejemplo, no sé, 2.4 gigas estarÃa aquà y serÃa UHF. El SHF estarÃa aquà y ahà caen los 5.8 gigas. Y asà sucesivamente tenemos diferentes partes del espectro. Existen las radios, las radios FM, por ejemplo, que están en algunos megas. Están por aquÃ, y están los canales de televisión abierta, etc. Están las radios AM, que están en otra parte del espectro de menor frecuencia. Entonces, es bueno saber que el espectro existe y que está supernormado. Hoy aprendimos caracterÃsticas de una sinusoide. Vimos amplitud, vimos frecuencia, vimos fase. Vimos conceptos de retardo de grupo y retardo de fase. Vimos el concepto régimen sinusoidal permanente. Vimos el impacto de la frecuencia para diferentes voltajes y corrientes. Y vimos el comando .ac en SPICE. Guau, esta fue una tremenda clase, nos vemos.