Hola. Continuamos con 5.01: "Transformada de Fourier". Ya sabemos que un vector puede ser escrito en diferentes bases. ¿Qué es esto de geometrÃa? Algo asÃ, ¿cómo geometrÃa analÃtica? No. Pero vamos a hacer un pequeño repaso. Esto es un vector y este vector puede ser escrito en diferentes bases. En este caso, por ejemplo, la base 1, 0, 0; la base 0, 1, 0 y la base 0, 0, 1. Nosotros podemos encontrar esos coeficientes simplemente resolviendo una ecuación de matrices. La base 1, este vector es 2, 3, 4, pero este mismo vector en otra base puede ser calculado y podemos llegar a sus coeficientes que tienen otros ponderadores. Esto en la base 2. Entonces, un vector se puede escribir en diferentes bases. ¿Qué es la Transformada de Fourier? Es parecido, pero en vez de en 3 dimensiones, estamos usando infinitas dimensiones o infinitas bases ortonormales. La idea es que no un vector de 3 números, sino que una función continua que va entre menos infinito y más infinito, puede ser descrita como una serie de coeficientes multiplicados por bases. Esas bases son frecuencias, son señales infinitas de diferentes frecuencias. Exactamente eso es. Es posible demostrar que las sinusoides complejas E a la iωt, donde este i en realidad es j, nosotros le vamos a llamar j, donde j es raÃz de menos uno, y donde Omega es la frecuencia angular en radianes por segundo y T del tiempo, todas estas, para todas las frecuencias diferentes, son una base. Toda función puede ser expresada como una suma sinusoide. De diferente amplitud, una suma infinita de sinusoide. O sea, una integral de sinusoide. La función f de t va a ser 1 partido por 2Ï€ por la integral entre, aquà debe decir menos infinito, infinito, de F de ω. F de ω, es la transformada de Fourier de f de t. Dicho de otra forma, f de t está en el tiempo, F de ω está en la frecuencia, y se parecen. No es que se parezcan fÃsicamente, pero si uno tiene f de t y f de t es continua y diferenciable en todas partes, uno puede llevarla a F de ω. De la misma forma, si uno tiene F de ω, puede llevarla a f de t. F de ω es, finalmente, el contenido en frecuencias de f de t. Estamos moviéndonos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Estamos trabajando en frecuencias y al movernos al dominio de la frecuencia, vemos otras cosas distintas. Vemos qué frecuencias están más activas, qué frecuencias no existen en la señal y la vemos en otro dominio, y según la frecuencia, incluye fase también. Cada uno de estos F, en realidad es amplitud y fase, y, por lo tanto, son 2 dimensiones. Una base por cada frecuencia ya sabemos cómo responde el circuito. Y un ponderador por cada base. Esa es la idea. Estos ponderadores representan la señal en el dominio de la frecuencia, y se le llama transformada de Fourier. Formalmente, si vamos a la matemática, donde i es raÃz de menos 1, que es lo que le llamamos j en este curso, F de ω va a ser la integral entre menos infinito e infinito de f de t por E a la menos iωt dt. La transformada inversa para convertir del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo es 1 partido por 2Ï€ por integral entre menos infinito e infinito de F de ω por E a la j o iωt dω. Este factor 1 partido por 2Ï€, a veces, aparece en ambas, con una raÃz y hay diferentes versiones. Es superimportante saber qué versión estamos usando. Nosotros vamos a usar esta versión. Se debe cumplir para poder hacer la transformada de Fourier que tenga energÃa finita, es decir, que la integral entre menos infinito e infinito de la función al cuadrado sea menor que infinito. O sea, que tenga lÃmite. Esto es un ejemplo. AquÃ, una señal f de t, que es una señal rectangular, que tiene un perÃodo T, aquà hay 2T. No, en realidad esto es t. SÃ, esto deberÃa ser t. No es T, es t. SÃ, no se porque aparece como T. Entonces, f de t nosotros podemos describirla como en este caso, una suma de sinusoide. Esto es algo que no está explÃcito aquÃ, pero en realidad, las señales pueden ser llevadas a una transformada de Fourier de este estilo. Pueden ser transformadas al dominio de la frecuencia a través de la transformada de Fourier, y la transformada de Fourier suele ser continua, pero cuando la señal es periódica, la transformada de Fourier es discreta. ¿En qué sentido es discreta? En que tiene solo algunos componentes y no tiene todos los componentes en frecuencia. Entonces, la integral se convierte en una sumatoria, y eso es lo que estamos viendo acá, f de t. Dado que esta f es periódica, esta de acá es discreta. Más bien, tiene algunas frecuencias donde existe señal y otra frecuencia donde no hay señal. No es que sea discreta en el sentido de matemática discreta, sino que más bien, es una suma y no una integral. Lo que estamos viendo aquà en el dominio de la frecuencia es que si sumamos este componente de frecuencia, donde la frecuencia es 2Ï€ partido por t, y esta es la que llamamos frecuencia fundamental; esta le llamamos un armónico y aquà hay otro armónico y aquà hay otro armónico. Si uno va sumando diferentes armónicos con sus respectivos pesos, estos que están acá son los pesos. Si uno suma estos pesos, finalmente puede crear algo que se aproxima cada vez más a la señal rectangular. Si sumamos peso hasta el infinito, podemos llegar a reproducir la señal rectangular tal cual como es. Partamos con la primera. Esta es la fundamental. Esta es la de la frecuencia base y tiene un peso de 4 partido por Ï€ según esto que aparece aquÃ. Si sumamos la primera y la segunda, llegamos a algo un poquito más rectangular. Si sumamos la primera, la segunda y la tercera, llegamos a algo un poquito más rectangular y asà sucesivamente. Si nosotros sumamos las primeras 39 y llegamos a esta que está acá, podemos sumar muchas más. Si llegamos a infinito, vamos a llegar a una señal perfectamente rectangular. Entonces, es posible hacer estos cálculos. Ahora que estamos convencidos de que una señal en el dominio del tiempo, f de t, puede ser representada en el dominio de la frecuencia F de ω, indicando su contenido armónico. Por ejemplo, aquà estamos diciendo que esta señal tiene esta frecuencia, tiene esta frecuencia, esta frecuencia, esta frecuencia, y señales que no son periódicas, tienen una transformada de Fourier que es continua. Podemos seguir con el concepto de impedancia. Ya habÃamos hablado de impedancia antes. Si ya está perdido retroceda algunas diapositivas y repase la estructura de esta exposición. Los cursos de señales incluyen estos contenidos extensivamente. Nosotros no vamos a dedicar mucho tiempo a esto, pero es bueno estudiarlo, es bueno reforzar la parte intuitiva. Lo ingenieros nos movemos fácilmente. El ingeniero eléctrico entre domina el tiempo y domina la frecuencia, saltamos entre uno y otro, tenemos que manejar bien ambos dominios. Pasemos al concepto de impedancia. Lo vamos a ver desde otro punto de vista. ¿Qué ocurre al dominio de la frecuencia cuando derivo f de t respecto de t? Tengo mi f de t que lo expreso como una integral en este caso, de los pesos de Fourier o la transformada de Fourier. Esta es la antitransformada de Fourier y vamos a derivar esto. Aplicamos d a dt y al derivar f de t, ¿qué es lo que sucede aquÃ? Que F de Omega no depende de t, queda fuera de la derivada. Y derivamos esto que está acá. Al derivar esto que está acá, queda lo mismo, pero sale el factor j Omega afuera y ese factor j Omega queda afuera. Y si nosotros nos damos cuenta, el f de t es todo esto, excluyendo esto. Esto de aquà es lo que ocurre cuando uno deriva. Por lo tanto, uno puede derivar esta propiedad. Si yo derivo f de t en el dominio del tiempo, eso es equivalente a tomar la transformada de Fourier, F de Omega y multiplicarla por j Omega; qué es lo que estábamos haciendo antes, cuando hablábamos de impedancia, en el dominio de la frecuencia, no lo habÃamos visto desde este punto de vista, pero esto es un punto de vista que nos abre un poco los ojos. Es exactamente lo mismo a lo que llegamos cuando trabajamos con capacitores inductores, la derivada en tiempo se convierte en un producto por j Omega en frecuencia. Si la ecuación del capacitor es, corriente del capacitor C por dv a de t, en el dominio de la frecuencia, vamos a tener que la corriente del capacitor es j Omega por el capacitor, por voltaje. Este C, este mismo C y este dv se convierte en V por j Omega. De la misma forma, el voltaje en un inductor es L por di a dt, y si lo llevamos al dominio de la frecuencia, esto está en el dominio del tiempo, nos da que el voltaje va a ser j Omega, que es producto de esta derivada por L por i_L. De aquà nosotros sacábamos la impedancia, eso que llamábamos el zl en el dominio de la frecuencia, y esto le llamábamos 1 partido por zc en el dominio de la frecuencia. Ejemplo. Calculemos v de t en régimen permanente con i de t es I_0 por raÃz de 2 de un seno. Nosotros miramos esto, nos imaginamos inmediatamente que esto es un I_0. I_0 es el valor efectivo porque si es una sinusoide, I_0 el valor efectivo y la sinusoide va a llegar hasta un valor máximo de I_0 raÃz de 2. Está por aquà más o menos. Esto es I_0 raÃz de 2. I_0 es nuestro valor, en este caso la corriente RMS, y al multiplicar por raÃz de 2 nos da el valor máximo, y esto va a tener frecuencia desde aquà hasta acá. Este es el perÃodo y 1 partido por perÃodo de frecuencia f, y 2 Pi por f nos da Omega. Ahà podemos describir completamente nuestra sinusoide y el circuito es un divisor de corriente entre R y C. Nosotros podemos calcular el voltaje como I por Z equivalente y Z equivalente que es finalmente R, paralelo 1 partido por j Omega C. Esto sale de aquÃ. La impedancia del capacitor es 1 partido por j Omega C. Hacemos este paralelo y aquà está nuestra corriente. En este caso, la expresamos en forma de fasor. Esto es I_0 ángulo menos 90 grados. ¿De dónde sale el ángulo menos 90 grados? Yo no vi el ángulo. Esto es un seno, los fasores están definidos para coseno. Cuando aplicamos seno aquà aparece un desfase de menos 90 grados. Y esto es lo mismo que menos j I_0. Esto hay que tenerlo en la cabeza todo el rato, uno no se puede olvidar. Esto es la parte real, esta es la parte imaginaria y menos j, ¿qué es menos j, finalmente? Menos j es multiplicar por, esta x es menos j, eso es un vector unitario que va en esa dirección y tiene un ángulo de menos 90 grados, por eso menos j es menos 90 grados. Si multiplicamos por j, este es un 1, multiplicado por j nos da eso, multiplicado por j de nuevo nos da menos 1, multiplicado por j de nuevo nos da menos j. Y cada vez que multiplicamos por j hacemos un giro en 90 grados. Eso es lo mismo que multiplicar por j y giro de menos 90 grados es lo mismo que multiplicar por menos j. Hacemos el paralelo aquà para calcular la resistencia, la impedancia equivalente, este menos j I_0 ya sabemos de dónde salió. R paralelo 1 partido por j Omega C, y esto lo hacemos, hacemos la fórmula tÃpica que es el producto partido por la suma. Si hacemos el producto partido por la suma y después hacemos manipulación algebraica para dejar un factor y luego dejar una parte en el numerador que tenga j y que tenga una parte real, nos queda de esta forma. Háganlo, por favor, es superimportante. El signo aquÃ, es superimportante también. ¿Cómo se llega a esto? TÃpicamente jugando con suma por su diferencia. Llegamos a esto que está acá y esto que está acá, finalmente, resulta en que el voltaje va a ser el I que tenÃamos originalmente o más bien, esto está en expresión como fasorial, por lo tanto, esto que está acá es el valor RMS. Asà que I_0 por R partido por raÃz de 1 más Omega RC cuadrado por arcotangente de 1 partido por Omega RC. ¿Cómo sé yo que es la arcotangente de 1 partido por Omega RC? De nuevo, hay que mirar esto que está acá. Hay que ponerse en la parte real, en la parte imaginaria. Aquà vemos que la parte real es Omega RC y la parte imaginaria es j. ¿Cómo es este ángulo? Este es el ángulo que estamos buscando, este es el desfase que va acá. ¿Cómo encontramos ese desfase? Es el arcotangente del lado opuesto partido por el lado adyacente. En este caso, esto tiene valor 1, es un j. Por lo tanto, el valor de esto es 1 partido por Omega RC. TrigonometrÃa fácil. Después de esto llegamos a que el voltaje, expresado en forma fasorial, va a ser I_0 por R partido por raÃz de 1 más Omega RC cuadrado por tangente a la menos 1 de 1 partido por Omega RC. ¿Qué pasó con el raÃz de 2? Al mover todo a fasores, dado que esto es una sinusoide podemos moverlo a fasores. Si lo movemos a fasores omitimos el raÃz de 2 porque en fasores, recuerden que lo que uno pone aquà al lado del ángulo es el valor RMS, asà están definidos los fasores. V de t va a ser este módulo en RMS por coseno de Omega t. Aquà le falta algo, aquà le falta el raÃz de 2 porque aquà estamos volviendo de fasor a la versión en el tiempo. La versión en el tiempo lleva el valor peak, asà como la versión en el tiempo aquà lleva el valor peak. Valor peak I_0 R por raÃz de 2, partido por 1 más Omega de RC cuadrado, por coseno de Omega t más tangente a la menos 1, por 1 partido por Omega RC. Este es un circuito que podemos analizar con fasores y resultó fácil. Nosotros aplicamos esto y en régimen sinusoidal permanente vemos esto que está acá. Superimportante entender que la transformada de Fourier, que es lo que estamos mirando en este set de láminas, nosotros lo vamos a usar extensivamente en el curso y lo vamos a aplicar, particularmente, en régimen sinusoidal permanente. ¿Qué aprendimos hoy? Aprendimos que la transformada de Fourier permite expresar cualquier función, cualquiera como una suma o integral de sinusoides complejas. En vez del valor en cada instante del tiempo, en vez de tomar estos valores, cada uno de ellos en función del tiempo, lo que hacemos es tomar su contenido de frecuencia, describimos una función según su contenido de frecuencia. ¿Y qué hay en cada frecuencia? En cada frecuencia hay una amplitud y una fase, entonces, nos preocupamos de eso. En circuito nos permite extender el concepto de impedancia y que en este caso estamos usando, y como dije, lo vamos a usar en régimen sinusoidal permanente. El concepto de impedancia en frecuencia es para cuando ya todos los transientes han decaÃdo, por lo tanto, esto que está aquÃ, impedancia en frecuencia, es válido en régimen sinusoidal permanente y vimos un ejemplo muy interesante. Gracias por ver esta clase.