[MÚSICA] Após esse vídeo você será capaz de descrever as propriedades de linearidade e invariância no tempo. Você também será capaz de descrever a Transformada de Laplace e suas principais características. Antes de falarmos da Transformada de Laplace, vamos falar de 2 propriedades que o sistema precisa ter para que possamos usar a Transformada de Laplace sua análise e depois no projeto do controle. Essas propriedades são a linearidade e a invariância no tempo. Sistema será linear se para toda entrada que é uma combinação linear de 2 ou mais entradas, a saída for a mesma combinação linear das saídas referentes a cada entrada individualmente. Vou tentar explicar isso de forma mais clara. Primeiro, o que é uma combinação linear? É apenas uma soma ponderada. Vamos ver exemplo: se tivermos por exemplo 3 sinais de entrada u1, u2 e u3, uma combinação linear desses sinais é nada mais nada menos que uma soma desses 3 sinais multiplicados por fator de ponderação cada que deve ser número real. Por exemplo: 1 vezes o u1 mais 2 vezes u2 mais 2 vezes u3, ou 21 vezes u1 menos 7 vezes u2 mais raiz de 3 vezes u3, ou ainda 0 vezes u1 mais 0,4 vezes u2 menos raiz de 2 vezes u3. Então uma combinação linear nada mais é do que uma soma ponderada onde os fatores de ponderação são números reais. Voltando agora para a linearidade de sistema. Se para uma entrada u1 temos uma saída y1 e para uma entrada u2 temos uma saída y2, então se a entrada é uma combinação linear de u1 e u2, a saída deve ser a mesma combinação linear de y1 e y2. Se isso acontecer sempre, ou seja, para qualquer combinação linear de quaisquer entradas, então o sistema é linear. E o que é sistema invariante no tempo? Simples: sistema invariante no tempo é sistema no qual uma entrada atrasada no tempo gera a saída correspondente atrasada pelo mesmo tempo. Por exemplo, se para uma entrada u1 temos uma saída y1, para uma entrada u1 atrasada temos uma saída y1 atrasada pelo mesmo tempo. Termos mais leigos, se usarmos a mesma entrada hoje, amanhã ou daqui a mês, teremos exatamente a mesma saída a partir de hoje, amanhã ou daqui a mês. E nesse curso trabalharemos apenas com sistemas lineares e invariantes no tempo, que abreviamos para sistemas LIT ou LTI de Linear Time Invariant. E como sabemos que sistema é LIT ou LTI? Isso na verdade é bastante simples, a equação diferencial de sistema linear invariante no tempo é uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes. Hã? Equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes? Uma equação diferencial ordinária é uma equação onde aparece apenas derivadas com relação a uma única variável, no nosso caso o tempo. Linear? A equação diferencial é uma combinação linear das derivadas. Coeficientes constantes? Os fatores de ponderação a2, a1, a0, b2. b1, b0 são todos constantes ou números reais. E se a equação diferencial do sistema não for uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes? Podemos fazer uma aproximação para obter modelo linear invariante no tempo que ainda represente o sistema ou podemos usar técnicas mais avançadas. Mas não precisa se preocupar com nenhuma dessas coisas por enquanto, deixemos isso para outros cursos. Nesse curso trabalharemos com equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes e você só precisa ser capaz de reconhecê-las. Muito bem, agora que você já sabe o que é a linearidade e a invariância no tempo e é capaz de reconhecer quando sistema é linear e invariante no tempo, podemos falar sobre a Transformada de Laplace. Aviso para os matemáticos de plantão que gostam de rigor, esse é curso de engenharia e na engenharia fazemos várias aproximações. O segredo é saber o quê, quando e até onde aproximar as coisas. Lembram do parcimonioso? Então, nossos modelos devem ser parcimoniosos, eles não devem ser detalhados e exatos demais, porque senão eles ficam complexos demais para serem úteis. Mas também eles não podem ser aproximações muito distantes da realidade, senão tudo o que fizermos não vai adiantar nada. Mas voltando ao que interessa, vamos ver agora a Transformada de Laplace, mas vamos nos ater somente às propriedades principais e sem grande rigor matemático. Se quiser estudar mais sobre Transformada de Laplace você pode ler o capítulo correspondente algum livro de controle de sistemas. Esta é a definição da Transformada de Laplace unilateral à direita. A Transformada de Laplace de sinal f(t) denotada por F(s) é, por definição, igual à integral de 0 a infinito de e elevado a menos st vezes f(t) dt, onde s é uma variável complexa. A Transformada de Laplace, uma integral de 0 a infinito, que meda, número complexo. [RISADA] Não precisa ter medo ou se preocupar com a Transformada de Laplace, nós não vamos usá-la diretamente. Calcular essa integral para diversas funções seria desperdício de tempo e lembre-se: somos preguiçosos. Se você se sentir mais confortável, pode imaginar que Transformada de Laplace empacota uma função ou uma variável. Nós estamos mais interessados nas propriedades desse empacotamento do que no processo propriamente dito. Uma das propriedades da Transformada de Laplace é que ela é linear, ou seja, a transformada de uma combinação linear é a combinação linear das transformadas. Outra propriedade importante é que para condições iniciais nulas, isto é, valor igual a 0 para t igual a 0, a transformada de f ponto derivada de F(s) é s vezes F(s), onde F(s) é a Transformada de Laplace de f. Note que podemos usar a propriedade da transformada da derivada para obter a Transformada de Laplace de f 2 pontos de derivadas de ordem maior. Vamos chamar f ponto de g e usar a propriedade da transformada da derivada para obter a Transformada de Laplace de f 2 pontos. Como f ponto é igual a g, f 2 pontos é igual a g ponto. Então a transformada de f 2 pontos é a transformada de g ponto e usando a propriedade da transformada da derivada, temos que a Transformada de Laplace de g ponto é s vezes G(s), desde que g(0) seja 0 e g(0) é f ponto de 0 e G(s) é a Transformada de Laplace de g que por sua vez é f ponto. Então G(s) é s F(s), desde que F de 0 seja 0. Substituindo o G(s) que é s F(s) na Transformada de Laplace de g ponto, temos transformada de f 2 pontos igual a s ao quadrado vezes F(s), onde F(s) é a Transformada de Laplace de f. Podemos usar o mesmo raciocínio para obter as Transformadas de Laplace de f 3 pontos, f 4 pontos e assim por diante. Se as condições iniciais forem nulas, isto é, a função e suas derivadas forem nulas para t igual a 0, cada derivada da função se transforma s multiplicando a transformada da função original. Caso a variável convirja para valor constante à medida que tempo passa, podemos obter este valor usando o Teorema do valor final, que diz que o limite de f(t) quando t tende ao infinito é igual ao limite s G(s) quando s tende a 0. Você pode apenas aceitar e acreditar que essas propriedades são válidas ou pode procurar pela demonstração delas algum livro de controle, onde você encontrará outras propriedades da Transformada de Laplace. Agora você já deve ser capaz de descrever as propriedades de linearidade e invariância no tempo e também deve ser capaz de descrever a Transformada de Laplace e de citar as suas principais propriedades. No próximo vídeo você verá como usar a Transformada de Laplace e suas propriedades para obter o que chamamos de Função de Transferência do sistema. [MÚSICA] [SOM]
