[MÚSICA] Após este vídeo você será capaz de explicar e ilustrar a BIBO estabilidade e será capaz também de citar que condições são necessárias e suficientes para que sistema seja BIBO estável. Primeiro vamos definir o que entendemos por estabilidade. Intuitivamente, você pode achar que sistema estável é aquele no qual a saída é limitada ou não diverge. Essa realmente é uma boa noção mas precisamos ser pouco mais rigorosos, mesmo porque existem diferentes definições de estabilidade. Nesse curso estamos interessados na BIBO estabilidade ou estabilidade BIBO. BIBO vem do inglês Bounded Input Bounded Output e significa Entrada Limitada Saída Limitada. e sistema é BIBO estável se e somente se, para toda e qualquer entrada limitada a saída for limitada. Isso quer dizer que, se existir pelo menos uma entrada limitada para a qual a saída do sistema divirja esse sistema não é BIBO estável. Vale ressaltar que a BIBO estabilidade é do sistema e não de uma saída e nem para uma entrada específica. A saída ser limitada para uma entrada não quer dizer nada sobre a BIBO estabilidade do sistema. Reforçando: sistema é BIBO estável se e somente se a saída for limitada para toda e qualquer entrada limitada. E quando a saída será limitada para toda e qualquer entrada limitada? Primeiro vamos ver como seria uma entrada limitada e uma entrada ilimitada. Na verdade ao invés de chamar à chamada ilimitada de ilimitada, vou-me referir a ela como entrada que diverge. A mesma coisa para a saída. Então como seria a Transformada de Laplace de entrada limitada e de uma entrada que diverge? Vamos voltar à tabela de Transformadas de Laplace. Nessa parte da tabela temos sinal limitado o degrau, 2 sinais que divergem, a rampa e a parábola e sinal que pode ser limitado ou pode divergir dependendo do valor de a. Se a for maior que 0, a exponencial diverge, caso contrário ela é limitada. Na segunda parte da tabela temos 2 sinais limitados, o seno e o cosseno, e 2 sinais que podem ser limitados ou podem divergir, novamente dependendo do valor de a. Se a for positivo, a exponencial vezes o seno, ou o cosseno, diverge, se a for negativo, ou nulo, a exponencial vezes o seno ou o cosseno é limitada. Vamos acrescentar alguns pares de Transformada à nossa tabela: t vezes seno, t vezes cosseno e t vezes exponencial. Os 2 primeiros sinais divergem e o terceiro vai depender novamente do valor de a Com a positivo t vezes a exponencial diverge, com a negativo t vezes a exponencial é limitada. Vamos ver se descobrimos algo comum entre os sinais limitados e os sinais que divergem. Vamos começar dividindo os sinais nesses 2 grupos. No grupo de sinais limitados temos o degrau, a exponencial negativa, o seno, o cosseno, a exponencial negativa vezes seno, a exponencial negativa vezes cosseno e t vezes a exponencial negativa. No grupo dos sinais que divergem temos a rampa, a parábola, a exponencial positiva, a exponencial positiva vezes o seno, a exponencial positiva vezes o cosseno, t vezes seno, t vezes cosseno e t vezes a exponencial positiva. Vamos dar uma olhada nas Transformadas de Laplace desses sinais e tentar descobrir algum padrão. Alguma semelhança entre os sinais limitados e alguma diferença entre os sinais limitados e os sinais que divergem. Vamos reorganizar as Transformadas de Laplace e vamos analisar as primeiras Transformadas que correspondem a exponenciais negativas e positivas e t vezes essas exponenciais. Note que se o polo da Transformada de Laplace é negativo, o sinal é limitado. Note agora que se tivermos único polo na origem o sinal é limitado, mas se tivermos 2 ou mais polos na origem o sinal diverge. Vamos analisar agora as Transformadas do seno e do cosseno multiplicadas por exponenciais negativas e positivas. Talvez as coisas fiquem mais claras se expressarmos as Transformadas de Laplace de maneira diferente, explicitando os polos. Podemos expandir o denominador e usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes ou os pólos. e notamos que se os polos complexos conjugados têm parte real negativa o sinal é limitado. Se a parte real for positiva o sinal diverge. Note também que se tivermos também único par de polos complexos conjugados, com parte real nula, o sinal é limitado mas se esse par de polos for repetido, o sinal vai divergir. Então, a que conclusão podemos chegar com relação ao sinal ser limitado ou divergir e a sua Transformada de Laplace? Se os polos da Transformada de Laplace tiverem parte real negativa, o sinal será limitado, mas se eles tiverem parte real positiva o sinal vai divergir. Polo simples na origem ou par simples de polos complexos conjugados com parte real nula, sinal limitado. Polo duplo, triplo ou com multiplicidade maior na origem, o sinal diverge. Par de polos complexos com parte real nula e multiplicidade maior que o sinal diverge também. Muito bem, o sinal de entrada deve então ter polos reais negativos ou polos complexos conjugados com parte real negativa ou ter único polo na origem ou ter pares de polos complexos conjugados com parte real nula, não repetidos. E para que a saída seja limitada, a Transformada de Laplace da saída deve ter as mesmas características: polos com parte real negativa ou nula e sem multiplicidade se a parte real for nula. Agora como deve ser a Função de Transferência para que isso aconteça? Vamos usar uma Função de Transferência e uma Transformada do sinal de entrada literais, ambas com denominador fatorado. A função de Transferência tem n polos e a Transformada da entrada mais m polos. A Transformada de Laplace da saída é o produto da função de transferência e da Transformada da entrada e você lembra que podemos expandir a Transformada frações parciais. Vamos separar as frações parciais 2 grupos: referente aos polos da Função de Transferência e outro referente aos polos da Transformada da entrada. Os denominadores das frações parciais de Y(s) são exatamente os mesmos das frações parciais de U(s) e se u(t) é limitado então yU(t) também será limitado. Ou seja para saber se a saída é limitada ou não podemos analisar apenas yG(t). Ou melhor yG(s), todas as frações parciais de yG(s) precisam corresponder a sinais limitados para que a saída seja limitada. Se apenas uma das frações parciais de yG(s) tiver a Transformada inversa ilimitada, yG(t) será ilimitada e y(t) também. Então não podemos ter nenhum polo da Função de Transferência com parte real positiva. Mas isso é suficiente? A Função de Transferência pode ter polo na origem ou par de polos complexos conjugados com parte real nula? A resposta é não. Vamos ver exemplo numérico simples. A Função de Transferência será 1 sobre s e a entrada degrau unitário, que é uma entrada limitada. A Transformada da saída será 1 sobre s ao quadrado e a saída é uma rampa que diverge. Ou seja se o sistema tiver polo na origem existe uma entrada limitada que gera uma saída que vai divergir. Quando temos mesmo polo na Função de Transferência e na Transformada da entrada, não podemos fazer a separação total das frações parciais porque uma das frações terá o denominador ao quadrado. Vamos ver exemplo com par de polos complexos conjugados com parte real nula. A Função de Transferência será 1 sobre s ao quadrado mais 1, e a entrada será cosseno de t. Então a Função de Transferência tem par de polos mais ou menos i. Multiplicando G(s) por U(s) e fazendo a Transformada inversa obtemos y(t) que é meio de t vezes seno de t, uma saída que diverge. Concluímos então que para sistema seja BIBO estável todos os polos da função de transferência devem ter parte real negativa. Se eles forem polos reais, devem ser negativos e se forem complexos conjugados, devem ter parte real negativa. Se dos polos tiver parte real positiva, a fração parcial correspondente a esse polo irá resultar termo que diverge na saída. Se o sistema tiver polo na origem, uma entrada degrau irá resultar uma saída que diverge. Se o sistema tiver par de polos complexos conjugados com parte real nula, uma entrada senoidal específica irá resultar uma saída que diverge. E como para ser BIBO estável sistema precisa ter a saída limitada para toda e qualquer entrada limitada, essas duas situações precisam ser evitadas. Agora você já deve ser capaz de explicar e ilustrar a BIBO estabilidade e de citar que condições são necessárias e suficientes para que sistema seja BIBO estável. No próximo vídeo você verá que é possível verificar a BIBO estabilidade sem ter que calcular todos os polos do sistema, mais de nossos truques matemáticos. [MÚSICA] [SOM] [SOM]
