Hola, bienvenido al sistema del teorema del valor promedio. En este caso, vamos hablar especificamente sobre el teorema del valor promedio de la velocidad. Hasta el momento, lo que hemos hecho es hablar de la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo, es decir, de la velocidad o velocidad instantáneas En este tema, lo que vamos a ver es lo contrario. A partir de gráficas de velocidad, vamos a calcular, vamos a establecer cuales son los cambios de posición o desplazamiento. esa va ser parte de nuestra tema en este dia. Hasta el momento, como les habÃa dicho, hemos trabajado con funciones de posición y hemos hablado de la Velocidad de la particular. Ahora empezaremos a trabajar con funciones de velocidad y hablaremos de la posición de la partÃcula. Veamos este ejemplo. Aquà tenemos un movimiento de velocidad constante. No hay mucho eso quiere decir, la velocidad es constante si yo grafico la velocidad versus el tiempo lo que tengo es una gráfica horizontal. Es decir, en cada tiempo la velocidad es la misma. y es en ese ejemplo es de 5 metros por segundos. Si quisieranos calcular el cambio de posición o el desplazamiento entre dos y ocho segundo entonces, tendrÃanos que hacer un cálculo con el movimiento de velocidad constante, lo cual, no es complicado ¿por qué? porque nosotros sabemos que un movimiento de velocidad constante la velocidad media es igual en cada intervalo. Cualquier intervalo que ustedes tomen, la velocidad media va a ser igual. igual a la velocidad constante. De tal manera que tenemos que la velocidad media es igual delta x sobre delta t, entonces, quiere decir que para cualquier intervalo la velocidad instantánea en este tipo de movimiento es delta x sobre delta t. Nosotros decÃamos que queremos calcular el desplazamiento, el cambio de posición de dos a ocho segundo. Es decir, el intervalo de seis segundos. Si nosotros despejamos el desplazamiento de la ecuación de velocidad media, lo que obtenemos entonces es el desplazamiento que es treinta metros. Observen que este resultado del desplazamiento de la partÃcula de treinta metros y observamos en la gráfica de velocidad versus tiempo, lo que nos queda es un área. Si nosotros multiplicamos la base de este rectángulo que se forma entre dos y ocho segundos por la altura que en este caso serÃa cinco metros por segundos, lo que obtenemos es el área y eso son treinta metros. El resultado no es una casualidad en realidad. El cambio de posición o desplazamiento de una partÃcula que se mueve en una dimensión se puede calcular a partir de la gráfica de velocidad. Es decir, el desplazamiento de una partÃcula en un intervalo es el área bajo la curva de la gráfica de velocidad en ese intervalo. Eso ocurre para cualquier tipo de gráfica de velocidad. El ejemplo que pusimos es muy sencillo donde la velocidad instantánea es constante. Veamos un movimiento en donde la velocidad instantánea no es constante. Vamos a suponer que aumenta uniformemente. Este es un ejemplo. La velocidad si se fijan en la gráfica es cero entre igual a cero y va aumentando conforme el tiempo va pasando. Entonces, este es otro ejemplo. Lo que queremos encontrar es el desplazamiento en un intervalo de este tipo de gráfica y para eso vamos a utilizar el teorema del valor promedio de la velocidad. Aquà lo importante es entender que es el área bajo la curva. El área bajo la curva, por ejemplo, si yo quisiera calcular el desplazamiento de T1 hasta T2 es el área bajo la curva. TendrÃamos ahà esa curva que está sombreada la que tenemos que calcular. Bueno el teorema del valor promedio de la velocidad nos indica que el desplazamiento de en ese intervalo de T1 a T2 es igual a la velocidad promedio multiplicada por el intervalo. La velocidad promedio se define como la suma de la velocidad inicial y la velocidad final entre dos, es decir, es un promedio de velocidades. La velocidad inicial más la velocidad final sobre dos. Esto es lo que obtendrÃanos es que el desplazamiento serÃa V1 más V2 sobre dos multiplicado por delta T Ese es el desplazamiento de una de este tipo de movimiento en donde la velocidad aumenta uniformemente. Observemos esta gráfica. Se fijan que el movimiento no es es una gráfica de velocidad en donde la velocidad no aumenta o disminuye uniformemente En este caso, primero aumenta en el primer intervalo, después se mantiene constante y lo disminuye. Pero en cada caso, en cada uno de los intervalos de cero a cuatro segundos o de cuatro a ocho o de ocho a doce segundos vemos que la velocidad sà cambia uniformemente, entonces podemos utilizar el teorema del valor promedio en cada uno de esos intervalo y sumar. Esto lo hacemos de esta manera. Pensemos que el área bajo la curva es realmente lo que estamos buscando y aquà lo dividà en tres intervalos en donde la velocidad o aumenta uniformemente, se mantiene constante o disminuye sobremente. Delta X1 serÃa el desplazamiento del primer intervalo y asà sucesivamente con los otros dos. Observen que el desplazamiento total serÃa la suma de los desplazamiento. El primer desplazamiento en efecto puedo utilizar el teorema de la velocidad promedio porque aumenta uniformemente. SerÃa la velocidad promedio en el intervalo uno por el intervalo uno y asà sucesivamente con los otros dos que serÃan la velocidad promedio del intervalo dos por el intervalo dos más la velocidad promedio del intervalo tres por el intervalo tres. Ese serÃa el cálculo que tengo que hacer y este es un cálculo sencillo de hacer en este tipo de gráfica. En este caso serÃa uno más dos sobre dos, si se fijan es el, la velocidad inicial del primer intervalo que es uno más dos que serÃa la velocidad final en el primer intervalo sobre dos serÃa la velocidad promedio en el primer intervalo, y luego, el intervalo serÃa cuatro menos cero Asi sucesivamente con los demás, con los otros dos intervalos y lo que obtenemos es un desplazamiento total de dieciocho metros. La partÃcula se desplazo dieciocho metros. El cambio de posición fue dieciocho metros. ¿Qué hacemos cuando la función de velocidad es más complicada? Es decir que sigan que aquà en ningún intervalo la velocidad cambia uniformemente. Quizás, al final se puede pensar que cambia uniformemente, pero en realidad es una curva en donde la velocidad en ningún momento cambia uniformemente. Sin embargo, aún y cuando no puedo calcular con el teorema de la velocidad promedio el área bajo la curva lo que puedo hacer es aproximar. Si yo quisiera calcular el desplazamiento de cero a catorce segundo, pudiera hacer una aproximación con el teorema de la velocidad del promedio, sin embargo, ese teorema nos va a dar esta área Se fijan que esa área no es igual a la debajo de la curva. Nos está faltando parte del desplazamiento, parte del área. Entonces, pero serÃa una aproximación, una aproximación, quizás no buena la aproximación, pero sà una aproximación. ¿Que les parece si ahora pensamos en utilizar dos intervalos? Si utilizamos dos intervalos, en efecto, la aproximación mejora. En este caso es como si yo estuviera asumiendo que el primer intervalo de cero a siete segundo la velocidad aumenta uniformemente y de siete a catorce aumenta uniformemente de alguna otra manera, pero aumenta uniformemente. En este caso, la aproximación es mejor, sin embargo, no es igual a lo que nosotros estamos pensando. Si utilizamos cuatro intervalos, se sigan la aproximación es mejor. SÃ, en este caso, si divido a mi intervalo total de cero a catorce segundo en cuatro intervalo de tres punto cinco segundos lo que obtengo es una mejor aproximación del área bajo la curva. Lo que tengo es una sola aproximación del desplazamiento de la partÃcula y esto asumiendo en cada uno en esos pequeños intervalos, esos cuatro intervalos que la velocidad aumenta uniformemente. No lo aumenta, no hace eso, no aumenta uniformemente. Sin embargo, es una buena aproximación. ¿Cual serÃa entonces una mejor aproximación? Pues a mayor números de intervalos. TendrÃa yo que utilizar un mayor número de intervalos para encontrar la el desplazamiento, el cambio de posición de la partÃcula en ese intervalo. Entonces, la conclusión aquà serÃa que yo puedo utilizar el teorema de la velocidad promedio para calcular desplazamiento de cualquier gráfica de velocidad siempre y cuando, estemos, entendamos que cuando la velocidad no aumenta, ni disminuye uniformemente, es decir, cambia de manera arbitraria, va a ser una aproximación y la mejor aproximación será con el mayor número de intervalo. Claro, que si yo quisiera encontrar informe exacta bajo esa curva, entonces, lo que tendrÃa que hacer es tender a infinito el número de intervalo, ¿no? esa serÃa matemáticamente lo que yo tendrÃa que hacer. Bueno y con esto terminamos. Les agradezco su atención y nos vemos ne el siguiente tema. [MÚSICA]
