Buenos días. Esta sexta semana la vamos a dedicar a introducir el cálculo integrado. El cálculo integrado, junto con el cálculo diferencial, constituyen la base fundamental del cálculo. Hay diversas formas de introducir el concepto de integral definida. La más usual es a partir del concepto de área. Que será la forma que utilizaremos en esta introducción. El resultado más importante del cálculo integrado es el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la integral con la derivada. Por ello, antes de abordar el problema del área, vamos a aprender a calcular integrales indefinidas. Como primer paso para resolver integrales definidas. En este primer vídeo vamos a introducir el concepto de función primitiva o antiderivada de una función. Lo que nos conducirá al concepto de integral indefinida. Vamos a empezar por introducir el concepto de primitiva de una función. Vamos a realizar el siguiente ejercicio: hallar una función F tal que su derivada sea 2x menos 1. Si tomamos, por ejemplo, la función g de x igual a x cuadrado observamos que su derivada, como you sabemos de anteriormente, es la función 2x. De la misma manera, si por ejemplo tomamos la función H de x igual a menos x, podemos calcular su derivada, que es menos 1. Juntando ambas funciones tenemos, podemos definir al función F de x igual a x cuadrado menos x. Y, si calculamos su derivada, observamos que esta es 2x menos 1. Por tanto, la función F de x es la función pedida en este ejercicio. Así pues, vamos a dar la siguiente definición. Dada una función real de variable real f de x, a la función F mayúscula de x tal que su derivada sea la función original, se llama primitiva o antiderivada de f de x. Así, según el ejercicio que hemos visto anteriormente, la función F de x igual a x cuadrado menos x es una primitiva o antiderivada de la función f de x igual a 2x menos 1. Vamos a realizar otro ejercicio de cómo calcular la función antiderivada de una función. en primer lugar vamos a ver que la función G de x igual a 2 raíz de x es una primitiva o antiderivada de la función g de x igual a 1 partido por raíz de x. Sencillamente lo que debemos hacer es calcular la derivada de la función G mayúscula de x. Puesto que se trata de una constante por una función, la derivada será la constante por la derivada de la función. Y habíamos visto anteriormente que la derivada de raíz de x es simplemente 1 partido por 2 raíz de x. Simplificando obtenemos 1 partido por raíz de x, que es exactamente la función g de x que pretendíamos encontrar. Así pues, se dice que la función G de x es una primitiva de la función g minúscula de x. La siguiente cuestión que cabe preguntarse es si una misma función puede tener más de una primitiva. Vamos a realizar el ejercicio número cuatro. Vamos a comprobar que, tanto la función F mayúscula de x igual a 2 partido por x con la función G mauúscula de x igual a 2 más 2 x partido por x, ambas son funciones primitivas de la función f de x igual a menos 2 partido por x cuadrado. Para ello, simplemente vamos a calcular la derivada de F mayúscula, que, de nuevo, es una constante por una función. Y se da la derivada, se da la constante por la derivada de 1 partido por x, que recordemos que es menos 1 partido por x cuadrado. Tanto esto es igual a menos 2 partido por x al cuadrado, que es la función de partida. Si realizamos la misma operación con G mayúscula de x y calculamos su derivada, es este caso se trata de un cociente. Por tanto, su derivada será la derivada del numerador, que es 2 por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar, por la derivada del denominador, partido por el denominador al cuadrado. Operando en el numerador obtenemos 2x menos 2 menos 2x partido por x cuadrado igual a menos 2 partido por x cuadrado que, de nuevo, es la función f minúscula de x. Por tanto, tanto la función F mayúscula como la función G mayúscula ambas son primitivas o antiderivadas de la función f minúscula. La conclusión de este ejercicio es que una función puede tener más de una primitiva o antiderivada. En el ejercicio cinco, vamos a ver si somos capaces de hallar dos primitivas o antiderivadas de la función f de x igual a x más 1. Una de ellas, por ejemplo, podría ser F mayúscula de x igual, simplemente, a x cuadrado partido por 2 más x. Efectivamente, si calculamos su derivada podemos observar que vale 2x partido por 2 más 1 igual a x más 1. ¿Cómo podría ser otra antiderivada distinta? Por ejemplo, podríamos proponer G de x igual a x cuadrado partido por 2 más x, como la anterior, más 10. Si hallamos su derivada, tendremos 2x partido por 2 más 1, más 0, que es igual a x más 1. Es decir, en ambos casos obtenemos la función f minúscula de x. Así pues, hemos sido capaces de hallar dos antiderivadas distintas de una función f minúscula de x. Observemos que, dada una antiderivada de la función f minúscula de x, si le sumamos cualquier constante C, donde C es cualquier número real, se obtiene otra antiderivada de la función f minúscula de x. Lo que cabe preguntarse es si, además de esta familia infinita de antiderivadas, existen otras antiderivadas. La respuesta es negativa. Todas las antiderivadas tienen que ser una antiderivada más una constante. Vamos a ver este resultado. A continuación, vamos a introducir el concepto de integral indefinida. Antes, pero, vamos a ver que dos antiderivadas o primitivas de una función solo se diferencian en una constante. Supongamos que F de x mayúscula es una antiderivada de la función f minúscula de x. Es decir, sabemos que su derivada es la función f de x. Supongamos que G mayúscula de x es otra derivada. Es decir, su derivada también es la función f de x. Restando ambas igualdades obtendríamos que F mayúscula prima de x, menos G mayúscula prima de x sería igual a 0. O, escrito de otra manera, aplicando las propiedades de la derivada de una diferencia podríamos escribir que f de x, menos g de x derivada es igual a 0. Puesto que tenemos una derivada igualada a 0. ¿Qué podemos decir de la diferencia F de x menos G de x? Pues que esta función, como tal, tiene por derivada 0. Por tanto, necesariamente debe ser cierta constante para un valor real. Con ello se deduce que la función G de x, siempre se da la función F de x, más una cierta constante. Esta constante será un valor real. Así pues, tenemos el siguiente resultado. El conjunto de todas las funciones primitivas de una función f minúscula de x es de la forma F mayúscula de x más C, donde F mayúscula de x es una función primitiva de la función f minúscula de x, y el valor constante C es cualquier número real. El conjunto de todas las funciones primitivas o antiderivadas de una función se denomina integral indefinida de f minúscula de x y se denota mediante un símbolo de una s alargada, la función f de x, y a continuación, un símbolo que se lee como diferencial de x. Vamos, pues, a calcular la primera integral indefinida. Concretamente, la integral indefinida de la función f de x igual a x cubo. Para ello, y según el resultado visto anteriormente, esta integral se obtiene a partir de una primitiva de la función x cubo. Es decir, una función f de x tal que su derivada sea x cubo. Podemos tomar, por ejemplo, la función x a la cuarta partido por 4. Efectivamente, se trata de una primitiva puesto que su derivada es la función 4x cubo partido por 4, que es igual a x cubo, que es nuestra función de partida. Por tanto, la integral de f de x diferencial de x será la integral de x cubo diferencial de x igual a x cuarta partido por 4, más una constante C, que es un valor real cualquiera. Observemos que la integral definida no es una función, es un conjunto de funciones. Exactamente hay infinitas funciones, que se obtienen a partir de una primitiva sumándole cualquier constante real. Veamos otro ejemplo de cálculo de la integral indefinida. En este caso, nos piden hallar la antiderivada de la función f de x igual a x cubo cuya representación gráfica pasa por el punto (0,0). En realidad, lo que nos están pidiendo es que calculemos todas las primitivas de la función x cubo, que you las hemos calculado anteriormente y son x cuarto, partido por 4 más C, donde C es cualquier número real. Y, de este conjunto de primitivas, escojamos aquellas que pasan por el punto (0,0). Si pasa por el punto (0,0), esta función significa que al sustituir en la función nos debe dar el valor 0. Es decir, 0 a la cuarta partido por 4 más C debe ser igual a 0. Simplificando y hallando el valor de C fácilmente se observa que obtenemos el valor 0 real. Por tanto, de todas las primitivas de esta función, la función que pasa por el punto (0,0), será la función f de x igual a x cuarta partido por 4. Resumamos los puntos más importantes de este vídeo. Una función F mayúscula de x tal que su derivada sea otra función f minúscula de x se llama primitiva o antiderivada de f de x. Segundo, si F mayúscula de x y G mayúscula de x son dos primitivas de la función f minúscula de x, entonces su diferencia necesariamente debe ser una constante real. Tercero, el conjunto de todas las funciones primitivas de una función f minúscula de x se pueden obtener a partir de una única función primitiva sumándole cualquier constante real. Por tanto, se trata de un conjunto de funciones, no de una sola función. Cuarto, el conjunto de todas las funciones primitivas de una función f minúscula de x se denomina integral indefinida de f de x, y se denota mediante el símbolo que es una s alargada y se lee como integral indefinida de f de x diferencial de x.
