Buenos días, esta segunda semana está dedicada al estudio de las funciones polinomiales. Las funciones polinomiales constituyen una de las familias más importantes en matemáticas. Muchos problemas reales se pueden modelar mediante funciones polinomiales y la mayoría de las funciones no polinomiales se pueden aproximar por funciones polinomiales. Así pues su estudio nos permitirá conocer en profundidad sus propiedades y su comportamiento. Empezaremos por estudiar las funciones lineales y las cuadráticas, para después estudiar las funciones polinomiales en general. A lo largo de estas presentaciones seguiremos la misma metodología que hemos utilizado en la primera semana. Primero las definiremos, seguidamente estudiaremos su representación gráfica y finalmente analizaremos su comportamiento. Vamos a empezar con una primera sesión para recordar los conceptos racionales con la recta en el plano. En primer lugar vamos a recordar una noción básica pero muy importante. Dados dos puntos: P y Q, existe una recta que los une. En este caso la recta, representada en color azul en el dibujo. Si añadimos otro punto R, entonces con cada uno de los dos puntos anteriores existirán una recta: la recta RQ, y la recta RP. Podemos observar que cada una de estas rectas están determinadas por los dos puntos por los cuales pasa la recta. Observamos además, que estas tres rectas cortan a los ejes en unos puntos. Por ejemplo la recta PQ corta a los ejes de abcisas en dos puntos, un punto del eje de abcisas y un punto del eje de ordenadas. Así mismo la recta RQ también corta en dos puntos a los ejes. Un punto en el eje de abcisas y otro punto en el eje de ordenadas. En cambio, la recta PR corta solamente en un punto de los ejes. En este caso, corta solamente en un punto del eje de ordenadas. Las rectas que figuran en este gráfico se llaman rectas horizontales. Podemos observar que cada una de ellas corta al eje de ordenadas en un solo punto. En este caso el punto dos; en este caso el punto uno y en este caso el punto tres. Así mismo, las rectas que hemos dibujado en este gráfico son rectas verticales y se caracterizan por la propiedad que cada una de ellas cortan al eje de ordenadas en un único punto. La recta en rojo corta en el punto de abcisa 2; la recta en azul corta en el punto de abcisa -1 y la recta en verde corta en el punto de abcisa -3. Otro concepto importante relacionado con la recta es el de pendiente. Para ilustrar este concepto vamos a considerar el siguiente gráfico que representa el perfil de una etapa del Giro de Italia. En el eje horizontal tenemos el recorrido en kilómetros, y en el eje vertical tenemos la ascensión; la altura de la carretera, y en cada tramo existe un porcentaje que representa la inclinación de la recta. En este caso la inclinación de la carretera. En el primer tramo la inclinación es de 5,5% que significa que en una distancia horizontal de 100 metros,hay una ascensión del 5,5. En el segundo tramo, se trata de una pendiente de -2.9% esto significa que en una distancia de 100 metros horizontales hay un descenso de 2,9 metros, y así sucesivamente. De la misma forma que hemos definido la pendiente de una carretera, podemos definir la pendiente de una recta. En este caso la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y/o Q. Para calcular su pendiente debemos saber en un recorrido horizontal, cuál es el valor del tramo de ascensión. Observemos que el valor de la pendiente será por tanto la diferencia de ordenadas, dividido por la diferencia de abcisas. Si representamos con la letra m a la pendiente, esto será 4 menos 1 dividido por 2 menos 1, es decir, 3 partido por 1 igual a 3. Diremos por tanto que esta recta tiene pendiente 3. Como es positiva significa que esta pendiente tiene una inclinación positiva. Veamos dos ejemplos más del cálculo de la pendiente de una recta. En este primer ejemplo tenemos una recta horizontal. Igual que antes, debemos calcular la pendiente como la diferencia de ordenadas partido por la diferencia de abscisas. En este caso puesto que la ordenada es la misma, la diferencia de ordenadas será 1 menos 1, y la diferencia de abcisas será 2 menos (-3), es decir 0 partido por 5 igual a 0. Por tanto en este caso nos da una pendiente de valor 0. Significa que esta recta tiene una inclinación 0, ni positiva ni negativa. En el caso de esta recta vertical procederíamos de la misma manera, la pendiente sería la diferencia de ordenadas, dividido por la diferencia de abscisas. En este caso el valor de la pendiente vendría dado por 3 menos (-1) partido por 2 menos 2, es decir, 4 partido por 0. Observemos que en este caso la pendiente se puede interpretar como pendiente igual a infinito. Es decir la inclinación es el máximo posible. Recordemos que no es posible nunca en una fracción dividir por 0, por tanto se interpreta en este caso que la pendiente tiene un valor de infinito. Vamos a tratar de caracterizar todos los puntos de una recta mediante una ecuación. En primer lugar observemos que si tenemos varias rectas paralelas todas ellas tienen la misma pendiente, es decir, podemos dar como resultado, que todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente. A continuación vamos a intentar calcular la pendiente de diversas rectas; todas aquellas que pasan por el punto 1U. En el gráfico podemos observar diversas rectas. La primera de ellas fácilmente se puede observar que pasa por el punto (1,1) y por el punto, por ejemplo (2,0). El cálculo de su pendiente sería simplemente 0 menos 1 partido por 1, igual a (-1). Dibujemos otra recta. En este caso se trata de una recta horizontal por tanto you sabemos que su pendiente es igual a 0. A continuación, la recta representada en color rojo; esta recta pasa por el punto (1,1) y pasa por el punto (0,0). Su pendiente por tanto será 1 partido por 1 igual a 1. Tomamos ahora la recta de color azul. Esta vemos que pasa igual que las anteriores, por el punto (1,1) y por el punto (0,-2). Su pendiente será por tanto, la diferencia de ordenadas 1 menos (-2) partido por la diferencia de abscisas 1, es decir 1 más 2 partido por 1 igual a 3. Por tanto, entre las rectas que hemos dibujado, la que tiene pendiente 3, es la recta representada en azul. Como conclusión de este ejercicio podemos observar que la pendiente m, y un punto P de una recta, determinan la propia recta. Finalmente, para terminar esta primera lección, vamos a calcular la ecuación explícita de una recta. Tomamos una recta cualquiera, dibujada en este gráfico en color azul y tomamos un punto, cualquiera de la recta, que representaremos por el punto (x,y). Esta recta cortará al eje de ordenadas en otro punto que tendrá por coordenadas (0,b). A partir de esos dos puntos podemos calcular la pendiente de esta recta. La pendiente m, que será la diferencia de ordenadas, y menos b partido por la diferencia de abscisas x menos 0, es decir y menos b partido por x, que es equivalente a m por x igual a y menos b y finalmente podemos simplemente colocar la b en el otro lado mx más b igual a y. Esta ecuación, que marcamos en rojo se denomina la ecuación explícita de la recta, y como podemos ver viene determinada por el conocimiento de la pendiente, y por el conocimiento del valor b, que se denomina ordenada en el origen. Resumiendo: la ecuación explícita de una recta es y igual a mx más b donde m es la pendiente de la recta, y b es la ordenada en el origen.
