J'ai donc reproduit ici l'expression de la phase spectrale en fonction de z et de oméga, telle qu'on vient de l'établir, et on peut évidemment en déduire l'expression du retard de groupe : tau g de oméga qui va dériver de la phase spectrale par rapport à la fréquence. Et on aura évidemment le retard de groupe initial en z égal à zéro et puis la dérivée des différents termes qu'on a ici. Le terme constant évidemment va disparaître dans le retard de groupe, le terme proportionnel à oméga va me donner une valeur : K prime, zéro, z ; et puis le terme quadratique va me donner un retard de groupe qui va être une fonction affine de la fréquence : moins oméga zéro, donc ce retard de groupe va s'annuler en oméga égal oméga zéro. Rappelez-vous qu'on avait vu que le centre de l'impulsion c'était la valeur moyenne de : d phi sur d oméga, c'est à dire la valeur moyenne du retard de groupe. Je vais calculer cette valeur moyenne, la moyenne de tau g, de z, et de oméga. On va donc devoir prendre les moyennes de tout ce que l'on a ici. Donc la moyenne tau g en zéro c'est le centre de l'impulsion en z égal à zéro, donc là pas de problème. Le terme suivant : k prime zéro z, il est indépendant de la fréquence, donc c'est une constante, donc la moyenne évidemment c'est : k prime zéro z ; et puis le terme suivant : oméga moins oméga zéro, fois k zéro seconde z, donc là la seule chose qui dépend de la fréquence c'est oméga moins oméga zéro, et évidemment la valeur moyenne de oméga moins oméga zéro c'est égal à moyenne de oméga moins oméga zéro ; et par définition la fréquence centrale on l'avait prise égale à la valeur moyenne de la fréquence. Et donc ce terme ici va disparaître dans la valeur moyenne. Donc on a simplement cette expression du centre de l'impulsion, et cela me permet de le réécrire sous la forme d'une équation très simple : le centre de l'impulsion au point z c'est le centre de l'impulsion en z égal à zéro plus : k prime zéro z. Et cela c'est l'équation d'un mouvement uniforme avec une vitesse qui sera égale évidemment à : un sur k prime zéro, puisque je peux réécrire cela sous la forme : z sur v g. Donc cette équation nous permet d'introduire la vitesse de groupe qui s'écrit : un sur v g de oméga égal d k sur d oméga. Donc on l'appelle vitesse de groupe parce que si je prends sa valeur en oméga zéro, c'est k prime zéro, on vient de démontrer en fait que cette vitesse c'est bien la vitesse de propagation de notre impulsion et on l'appelle vitesse de groupe parce que notre impulsion c'est un paquet d'ondes, c'est une superposition de différentes composantes spectrales, et ce groupe d'ondes monochromatiques va se propager à une vitesse qui lui est propre qui n'est pas la même que la vitesse de phase et dont l'expression ici, telle que nous l'avons démontré s'écrit comme l'inverse de la dérivée du vecteur d'ondes par rapport à la fréquence. Alors cette vitesse de groupe, on pourra l'exprimer à l'aide de ce qu'on va appeler un indice de groupe, en écrivant tout simplement qu'elle est égale à : n g, divisé par la vitesse de la lumière, où n g est l'indice de groupe. Donc, de la même manière que la vitesse de phase sera égale à c sur n où n est l'indice de phase, la vitesse de groupe c'est c sur n g ou n g est l'indice de groupe. Alors on peut calculer cet indice de groupe à l'aide de l'indice de phase, simplement je vous rappelle que le vecteur d'ondes : k de oméga dont on avait vu qu'il s'écrivait sous la forme : n de oméga, oméga sur c, et donc si je dérive ce vecteur d'ondes par rapport à la fréquence, je vais avoir d k sur d oméga, égal, donc j'aurai un premier terme où je vais dériver ici le terme oméga sur c, donc si je mets un sur c en facteur j'aurai un premier terme qui s'écrira : n de oméga et puis un deuxième terme où c'est l'indice que je vais dériver, donc dans ce cas-là j'aurai : oméga d n sur d oméga. Vous voyez qu'on peut comme ceci écrire l'expression de l'indice de groupe, simplement en identifiant cette expression-là avec celle-ci, on voit que l'indice de groupe est tout simplement égal à : n plus oméga d n sur d oméga, où n est l'indice de phase. Cet indice de groupe nous permet de reformuler ce terme constant ici qu'on avait dans la phase spectrale, puisqu'on a vu que : k prime zéro on pouvait l'écrire n g sur c, et par ailleurs évidemment, k zéro c'est n, oméga zéro sur c. Donc ce terme-là , on peut l'écrire sous la forme, donc k zéro ce sera n, oméga sur c, et k prime zéro oméga zéro ce sera : n g oméga sur c, donc je peux sous la forme n moins n g. Différence entre indice de phase et indice de groupe, multiplié par oméga zéro sur c, z. On a à nouveau ici l'expression de la phase spectrale en fonction de la fréquence, où j'ai écrit le terme de phase constant tel qu'on vient de l'exprimer en fonction de la différence entre l'indice de phase, noté ici n phi, et l'indice de groupe n g, plus le terme en : oméga k prime zéro z et le terme quadratique. Ce que l'on va faire c'est regarder sur un cas concret l'effet de cette phase spectrale. Pour cela je vais prendre une impulsion centrée à une longueur d'onde de 800 nanomètres extrêmement brève avec une durée r m s de 2,5 femtosecondes ce qui correspond à une durée à mi-hauteur de l'intensité temporelle de six femtosecondes, et vous avez représenté ici à l'aide du code couleur habituel le champ complexe, e de z et de t. Ce qu'on va faire c'est qu'on va représenter ce champ complexe, non pas en fonction de t, mais en fonction de : t moins k prime zéro z. C'est à dire qu'on va se placer en quelque sorte dans un référentiel qui se déplace à la vitesse de groupe de l'impulsion. Cela ça nous permet de prendre en charge ce terme ici en oméga k prime zéro z, oméga k prime zéro z c'est une phase linéaire qui correspond à une translation dans le temps de k prime zéro z, comme on l'avait vu la semaine dernière. Donc si on translate notre référentiel, cela veut dire qu'on se débarrasse de ce terme de phase. Donc ce terme de phase linéaire ne va pas nous intéresser. C'est simplement l'effet de vitesse de groupe qu'on vient de voir dans la diapositive précédente. Maintenant je vais m'intéresser au cas de la silice fondue pour les paramètres du milieu. La silice fondue c'est un verre qu'on utilise beaucoup en optique, qui est évidemment transparent dans le visible, sa composition chimique est SiO2. Elle est définie par un indice de phase qui est très proche de l'indice de groupe mais néanmoins distinct. L'indice de phase vaut un virgule 453 et l'indice de groupe vaut un virgule 467, et puis il y a aussi un terme : k zéro seconde qui vaut 361 femtosecondes carrées par centimètre. Ce qu'on va faire au début c'est négliger ce terme-là . Je vais supposer que k zéro seconde est égal à zéro, pour pouvoir se concentrer sur le terme de phase constante, pour voir quelles conséquences cela a sur la propagation de l'impulsion. Donc voyons ce qui se passe lorsque l'on se déplace dans l'échantillon. Vous voyez qu'ici z va défiler. Et comme on s'y attend si le seul terme qu'on a gardé c'est celui-ci, on a une phase constante qui est ajoutée à la phase propre de l'impulsion qui est en l'occurrence nulle, j'ai pris une impulsion gaussienne sans phase spectrale, et donc évidemment si vous rajoutez un terme de phase qui va évoluer linéairement avec z, c'est à dire que vous ajoutez un terme de phase sur ce cercle, ici dans le plan complexe, et donc vous avez un défilement à l'intérieur de l'enveloppe de l'impulsion de la phase de cette impulsion. C'est ce qu'on appelle l'évolution de la phase de la porteuse par rapport à l'enveloppe de l'impulsion qui est représentée ici. Est-ce que cela a des conséquences? Si je regarde, non pas le champ complexe, mais le champ réel, qui est représenté ici, qui est donc la partie réelle du champ complexe, évidemment ce qui se passe c'est qu'à chaque fois qu'on a ici un terme turquoise dans l'enveloppe, cela correspond à un champ réel qui va être positif et quand on a une couleur rouge cela correspond à un champ qui est négatif, et puis les phases intermédiaires qui vous donnent finalement un champ sous forme d'une fonction sinusoïdale. Mais ce que l'on voit c'est que cette fonction sinusoïdale, selon la valeur de z, n'a pas exactement la même forme. Par exemple, pour certaines valeurs de z, si j'avais une lame de silice fondue qui avait une épaisseur, très précisément de 870 microns, mon impulsion initiale, dont j'ai supposé que c'était un cosinus, ressort sous la forme d'un cosinus, ça veut dire qu'en t est égal à zéro, en tout cas au centre de l'impulsion et bien j'ai la valeur maximale du champ électrique. Si je regarde un tout petit peu plus loin dans l'échantillon, simplement quelques dizaines de microns plus loin, on a une fonction qui est sensiblement différente, ce n'est plus un cosinus mais c'est un sinus. Evidemment si on avait une impulsion très longue cela n'aurait pas d'importance, ce serait juste un décalage de phase, mais là , pour des impulsions extrêmement brèves ça peut avoir une importance. Par exemple que le champ électrique maximum qu'on peut atteindre dans cette situation-là , où on a un sinus, va être très légèrement inférieur à la valeur qu'on aurait pu atteindre pour un cosinus. Donc cette phase de la porteuse, ça a un effet dans certaines expériences avec des impulsions extrêmement brèves et aussi ultra intenses où le signal va varier très rapidement selon qu'on a la valeur pic du champ électrique ou une valeur légèrement inférieure comme on l'a ici. Donc dans certaines expériences, ça a une importance mais on a aujourd'hui des technologies qui sont bien maîtrisées pour contrôler cette phase de la porteuse. Néanmoins pour la plupart des expériences, et en tout cas celle qu'on va considérer dans ce cours d'optique non linéaire, la phase de la porteuse ne sera pas une grandeur pertinente et on va donc maintenant s'intéresser au terme suivant dans le développement de la phase, c'est-à -dire ici le terme quadratique. Donc j'ai représenté ici, comme tout à l'heure, l'expression du champ représenté dans le référentiel se propageant à la vitesse de groupe, et puis ici à droite le champ dans l'espace des fréquences en utilisant toujours le même code couleur ici. On a toujours une impulsion à 800 nanomètres, donc ça correspond à une fréquence centrale de 375 térahertz, simplement par rapport au cas précédent, on va maintenant prendre en compte le fait que K zéro secondes n'est pas égal à zéro dans la silice fondue et donc on va avoir une contribution quadratique à la phase spectrale. Et on va voir l'effet que ça a sur la propagation de l'impulsion. Là on est en Z égal zéro micron, la phase spectrale est nulle. Alors évidemment, comme on est dans un référentiel se translatant à la vitesse de groupe, ça revient à dire que on a éliminé ce terme, ici le terme constance, ou en d'autres termes le terme de phase linéaire ici, donc c'est pour ça qu'ici ce qu'on représente c'est le champ en fonction de oméga mais multiplié par exponentielle moins i K zéro prime oméga Z. Alors si maintenant je lance l'évolution, c'est-à -dire que si je regarde en différents points de l'échantillon, la première chose qu'on voit c'est le défilement des oscillations ici parce que la phase de la porteuse évolue au cours du temps, donc ça correspond à une diminution de la phase qui est représentée ici en noir et lorsque Z augmente, parce que K zéro seconde est non nul, vous voyez petit à petit apparaitre une contribution quadratique à la phase spectrale. Et comme vous le savez, une contribution quadratique à la phase spectrale ça vous donne une variation linéaire du retard de groupe, et donc au bout d'une distance finalement assez petite pour une impulsion aussi brève que celle que j'ai considérée, vous avez finalement un allongement de l'impulsion parce que le retard de groupe dépend de la fréquence. Les différentes composantes spectrales n'arrivent plus au même moment comme c'était le cas en Z égal à zéro. Alors là , voici au bout d'un millimètre, vous voyez que votre impulsion s'est allongée, donc évidemment le champ crêtes a diminué puisque l'énergie de l'impulsion est conservée, je vous rappelle que le spectre est inchangé dans cette propagation, on a accumulé une phase spectrale qui a d'une part une contribution négative qui correspond au fait que l'indice de phase et l'indice de groupe ne sont pas égaux dans la silice fondue, donc ça c'est le défilement de la phase de la porteuse, mais cette phase quadratique donc, provenant de ce terme là . Alors ce qu'on remarque aussi c'est un retard de groupe qui varie linéairement avec la fréquence, ça veut dire que les différentes composantes spectrales vont arriver successivement, donc ici par exemple les bases composantes spectrales à une fréquence entre 200 et 300 térahertz vont arriver avec un retard de groupe de entre moins 20 et moins 30 femtosecondes, donc c'est la contribution ici du tout début de l'impulsion. Là vous avez une oscillation à basse fréquence. À l'inverse, si vous regardez les composantes de haute fréquence qui arrivent plus tard, entre plus 20 et plus 30 femtosecondes ici, vous avez un champ qui va osciller beaucoup plus vite, donc ça vous explique le fait que la fréquence instantanée ici de l'impulsion varie au cours du temps vous avez une dérive de fréquence, l'équivalent du glissando que je vous avais montré avec une flûte à coulisse et ça après tout c'est tout à fait normal, ça provient simplement du fait que vous avez un milieu dispersif, l'indice de réfraction dépend de la fréquence et l'indice de groupe va dépendre de la fréquence, donc les différentes composantes spectrales ne vont pas se propager à la même vitesse et dans la plupart des matériaux, dans le visible en tout cas, le rouge va plus vite que le bleu, donc c'est pour ça qu'ici les premières composantes spectrales à arriver sont celles qui ont les plus basses fréquences et les dernières composantes spectrales celles qui ont mis le plus de temps à traverser le millimètre de silice fondue correspondent aux plus hautes fréquences.
