Nous allons maintenant procéder exactement de la même manière que dans la vidéo précédente, mais non pas pour un faisceau lumineux qui se propage dans un milieu non-linéaire mais dans le cas d'une impulsion brève qui aurait une certaine durée se propageant dans un matériau non-linéaire, d'épaisseur l comme dans la vidéo précédente mais maintenant on va s'intéresser uniquement à la variable z et on va négliger les variables transverses x et y comme si on avait affaire à une onde plane. Pour rendre compte de l'effet Kerr optique dans le domaine temporel, on va procéder de la même manière que dans le domaine spatial, c'est-à -dire qu'on va partir de l'équation de propagation complète que j'ai réécrite ici où vous avez un terme dispersif et un terme non-linéaire correspondant à l'effet Kerr optique. La seule différence avec le cas spatial est qu'on n'a plus les variables transverses x et y puisqu'on a supposé qu'on avait une onde plane mais par contre on a la variable temporelle t. Ce qu'on va faire dans cette vidéo, dans un premier temps, c'est qu'on va supposer qu'on peut négliger la dispersion de l'impulsion. Soit qu'on a un milieu non-dispersif, soit que l'épaisseur de l'échantillon est suffisamment faible pour que la dispersion n'ait pas le temps de se manifester, de s'accumuler, et qu'on n'ait que l'effet non-linéaire qui intervienne. On va donc négliger ce terme dispersif et prendre en compte uniquement la partie non-linéaire. On avait vu que dans ce cas on sait résoudre le problème de la propagation de l'impulsion, on avait vu que c'était l'action d'un opérateur U n de z et de zéro qui prenait tout simplement la forme d'une exponentielle, l'exponentielle i gamma fois le module de A, de zéro et de t au carré multiplié par z, puisqu'on avait vu que dans ce cas l'intensité du faisceau lumineux se conservait, c'est-à -dire que A de z et de t en module, ou en module au carré, était égal à la valeur de cette même grandeur en z égal à zéro. Et c'est ça qui faisait qu'on pouvait très facilement résoudre l'équation différentielle non-linéaire. Alors si maintenant on revient au champ électrique e de z et de t, il suffit de prendre l'enveloppe et de multiplier par la porteuse exponentielle i k zéro z moins oméga zéro t et d'ajouter évidemment cette phase non-linéaire ici gamma fois l'intensité ou le carré du champ électrique en module au carré fois z. Alors ce qu'on remarque, c'est que ce qui va nous intéresser, c'est la phase temporelle que nous avons ici, donc je vais poser phi de t qui sera égal à moins oméga zéro t, ce qu'on aurait en l'absence de non-linéarité plus le terme non-linéaire, qui en sortie de l'échantillon s'écrira comme gamma E de t, je ne mets pas le z, en module au carré, multiplié par l'épaisseur de l'échantillon, grand L. Comme on l'a fait dans le domaine spatial, je vais introduire une grandeur que je vais appeler B qui me permettra de me rendre compte de l'effet non-linéaire maximum qui sera égal à gamma fois l'intensité du faisceau lumineux enfin, pardon, pas l'intensité du faisceau lumineux, l'intensité de l'impulsion en son centre, donc en t égal à zéro, donc là où on suppose que le champ va être le plus élevé multiplié par L. Ça, ce sera la valeur maximale du déphasage non-linéaire au centre du faisceau lumineux. On va voir maintenant l'effet que ça a sur le champ électrique associé à l'impulsion. Vous avez ici représenté en utilisant toujours la même notation complexe pour pouvoir représenter le champ complexe E de t vous avez ici une impulsion gaussienne représentée en fonction du temps et puis en noir la phase temporelle, en supposant qu'il n'y a que le terme linéaire qui intervient, c'est-à -dire que je suis dans le cas où B est égal à zéro. On a donc une phase, on l'avait déjà vu, qui décroit avec le temps avec une pente moins oméga zéro et puis évidemment un champ qui va être périodique avec une période qui sera égale à deux pi sur oméga zéro. À chaque fois que la phase est nulle, c'est-à -dire à chaque fois que la couleur utilisée ici est turquoise, ça correspond à un maximum du champ électrique au moment où vous avez la plus grande valeur de la partie réelle de E rond de t. Donc ça c'est en l'absence de non-linéarité. Maintenant, si on introduit le deuxième terme de la phase, le terme non-linéaire, gamma E de t au carré fois l'épaisseur de l'échantillon, vous avez ajouté une contribution à cette phase qui va être plus importante évidemment au centre de l'impulsion. Là je suis dans le cas où B est égal à zéro donc on ne voit pas encore l'effet mais si j'augmente la valeur de B, vous voyez qu'on va avoir une déformation de cette phase qui n'aura plus une variation linéaire au travers de l'impulsion mais il y aura une petite bosse ici et sous l'action de cette bosse, naturellement on va avoir une déformation de la phase temporelle de l'impulsion. Vous voyez qu'ici la phase temporelle va varier moins vite et donc on va augmenter la période en ce point du champ électrique alors qu'à l'inverse dans la deuxième partie de l'impulsion ici on va avoir une phase temporelle qui va varier, qui va décroître plus vite et donc on aura augmenté la fréquence ou on aura diminué la période, ce qu'on voit ici directement. Donc si vous voulez, ça, cette petite bosse, c'est un peu l'équivalent de la lentille de Kerr qu'on avait vue tout à l'heure, sauf qu'ici c'est une lentille de Kerr temporelle qui va modifier la phase temporelle de l'impulsion. Alors on avait vu lors du cours de la deuxième semaine qu'on pouvait définir la fréquence instantanée sous la forme de l'opposée de la dérivée de la phase temporelle par rapport au temps, donc c'est ce qu'on va voir maintenant, donc vous avez ici la fréquence instantanée qui est l'opposée de la dérivée de la phase temporelle par rapport au temps et qui a cette forme-là , donc il y a évidemment un premier terme qui est la dérivée de la partie linéaire de la phase temporelle, qui va nous donner oméga zéro, donc c'est la fréquence centrale de l'impulsion et puis vous avez par dessus la dérivée de l'intensité temporelle, donc l'intensité d'une gaussienne, ça nous donne cette fonction-là puisqu'on a un signe moins. Vous voyez donc qu'on retrouve ici, avec cette notion de fréquence instantanée qu'on avait introduite, on retrouve le fait que dans le front montant de l'impulsion on a une fréquence instantanée qui est plus faible, ce qui correspond ici à une période plus grande de notre champ électrique alors que dans le front descendant de l'impulsion on a une fréquence instantanée plus élevée qui va correspondre évidemment à une période ici plus petite. Cette variation de la fréquence instantanée que vous avez ici vous montre qu'on a en fait engendré de nouvelles fréquences et donc évidemment le spectre de l'impulsion aura été modifié. Autant l'intensité temporelle ne change pas, autant le spectre va être modifié sous l'action de l'effet Kerr optique. Voilà représenté ici, à gauche comme tout à l'heure le champ électrique, avec les mêmes conventions et le même code couleur pour représenter le champ complexe, et puis à droite le champ dans l'espace des fréquences. Pour l'instant, on n'a pas d'effet non-linéaire, on a une fréquence instantanée indépendante du temps, qui vaut simplement la fréquence centrale, donc j'ai pris 375 térahertz, ce qui correspond à 800 nanomètres ou la longueur d'onde des lasers titanes saphires qui sont une des sources femtosecondes les plus répandues, et puis vous avez ici le spectre en fonction de la fréquence, j'ai oublié de le mentionner mais ici la fréquence est en térahertz, et donc centré comme je le disais à 375 térahertz. Pour l'instant, sans effet non-linéaire, sans effet Kerr optique. Si maintenant on augmente la valeur de l'intégrale B, on voit comme tout à l'heure ici une variation de la fréquence instantanée, qui va être la dérivée de l'intensité temporelle, et puis on voit aussi qu'on va modifier évidemment le spectre pour tenir compte de cette génération de nouvelle fréquence, donc le spectre va s'élargir par rapport à la valeur initiale. On a évidemment en plus de ça une phase spectrale qui aura une forme assez compliquée. Vous voyez que plus j'augmente la valeur de B, plus je vais produire de nouvelles fréquences, je vais avoir un spectre qui s'élargit de plus en plus. Il a une forme un petit peu compliquée, vous avez des oscillations spectrales ici qui correspondent en fait à des interférences spectrales entre une même fréquence qui va intervenir à deux instants successifs, c'est ce qui va vous donner cette forme un petit peu oscillante, et vous voyez qu'en augmentant la valeur de l'intégrale B je vais pouvoir considérablement élargir le spectre par rapport à sa valeur initiale. Voilà l'effet sur le spectre de l'effet Kerr optique, vous allez élargir essentiellement le spectre initial. Cet élargissement du spectre sous l'effet Kerr optique donne lieu à l'un des phénomènes les plus spectaculaires de l'optique non-linéaire femtoseconde, à savoir ce qu'on appelle la génération de continuum spectral. Vous en avez une illustration ici, où on a un faisceau lumineux qui est produit par un laser titane saphire, centré à une longueur d'onde de 800 nanomètres, et avec une largeur spectrale compatible avec des impulsions de 50 femtosecondes, donc quelque chose de relativement étroit, de l'ordre de la dizaine de nanomètres, et simplement en focalisant ce faisceau lumineux à l'aide d'une lentille convergente dans un matériau transparent, ici un cristal de saphir, et en recollimatant le faisceau avec une lentille ici en sortie, on a production de ce faisceau de lumière blanche qui couvre l'ensemble du spectre visible et même au-delà dans l'infrarouge, ce faisceau de lumière blanche possède une cohérence, c'est-à -dire que sa phase spectrale est parfaitement cohérente, donc c'est bien un faisceau qui a les mêmes caractéristiques que celles d'un rayonnement laser, et donc on pourrait parler dans ce cas d'un laser blanc, on n'a évidemment pas la longueur de cohérence associée au laser continu, on a une impulsion brève ici, dont la durée est de l'ordre de quelques dizaines de femtosecondes, mais on a une cohérence spectrale qui fait qu'on pourra ensuite parfaitement utiliser ce faisceau comme n'importe quel autre femtosecondes. Les effets à l'origine de cette génération de continuum spectral, il y a évidemment l'effet Kerr optique dont on a parlé, il faut quand même mentionner qu'il n'y a pas que l'effet Kerr optique temporel comme on l'a vu qui intervient, il y a aussi l'effet Kerr optique spatial, c'est-à -dire qu'on a ici dans la focalisation un phénomène d'auto-focalisation du faisceau dès qu'il est suffisamment focalisé, qui va faire qu'on aura propagation de ce qu'on appelle un filament et ça, ça va amplifier encore l'effet, parce qu'on pourra avoir une propagation sur une distance plus grande au foyer ici de la lentille, et puis il y a quelques autres effets qui interviennent dans cette génération de continuum spectral. Mais néanmoins, la physique de base c'est bien l'effet Kerr optique, qui nous permet d'engendre un très grand nombre de fréquences autour de la fréquence centrale. Pour illustrer cet effet, on peut comme représenté ici prendre le faisceau de lumière blanche et disperser toutes les composantes spectrales à l'aide de ce prisme, c'est une expérience qui a été faite au laboratoire d'Optique et Biosciences, et vous voyez ici toutes les longueurs d'onde de l'arc-en-ciel qui sont dispersées en aval de ce prisme. Vous imaginez bien toutes les applications qu'on peut faire de cet effet, on peut simplement sélectionner l'une de ces composantes spectrales pour ensuite l'utiliser, alors on aura une source femtoseconde accordable, femtoseconde si on garde une bande spectrale suffisamment large, mais enfin il y a néanmoins ici de la marge tellement le spectre est large, on peut même ensuite sélectionner cette bande spectrale et la réamplifier, par exemple à l'aide des amplificateurs paramétriques optiques qu'on a vus la semaine dernière pour obtenir finalement une source femtoseconde accordable dans l'ensemble du visible et de l'infrarouge. C'est une des méthodes qui sera employée pour pouvoir couvrir une bonne partie du spectre visible et du spectre infrarouge.
