Donc après cette introduction générale sur les effets non-linéaires d'ordre trois, nous allons nous intéresser plus particulièrement à ce qu'on appelle l'effet Kerr optique, et pour cela nous allons considérer l'équation de propagation non-linéaire résultant de la polarisation non-linéaire d'ordre trois que nous avons isolée dans la vidéo précédente. Pour considérer la propagation de notre faisceau lumineux sous l'action de cette réponse non-linéaire d'ordre trois, on va faire comme d'habitude, on va écrire le champ électrique e est le produit de l'enveloppe A de r et de t moins k prime zéro z, où k prime est l'inverse de la vitesse de groupe, ça c'est la propagation de l'enveloppe, puis il y a une porteuse exponentielle i k zéro z moins oméga t, et on va utiliser l'expression de la polarisation non-linéaire d'ordre trois qu'on vient d'établir. Ce qu'on va faire maintenant, c'est qu'on va utiliser la version simplifiée de l'équation de propagation non-linéaire. Simplifiée, je vous le rappelle, ça veut dire que dans le terme non-linéaire ici on approxime la fréquence, on avait oméga, qui normalement correspondait à la dérivée de la polarisation par rapport au temps, ici on remplace ça simplement par oméga zéro, la fréquence centrale de notre impulsion, soit qu'il s'agisse d'une impulsion suffisamment longue, soit qu'on ait affaire à un champ monochromatique, qui rentrera aussi dans le cadre de cette équation de propagation générale. On avait vu que le premier terme ici pouvait s'écrire sous la forme d'un opérateur différentiel agissant sur A, opérateur qu'on avait appelé D chapeau, qui correspond à la fois à la dispersion de l'impulsion et à la diffraction du faisceau lumineux. Puis on avait un second terme, qu'on avait appelé de manière générale N chapeau agissant sur A, où à la différence de D chapeau, N chapeau est un opérateur non-linéaire. Ce qu'on va commencer par faire, c'est calculer la polarisation non-linéaire d'ordre trois la polarisation complexe, avec cette expression du champ électrique. Si j'écris P de r et de t je vais avoir naturellement le préfacteur trois epsilon zéro chi trois divisé par quatre et puis j'ai le carré du module du champ électrique, mais comme le champ est directement proportionnel à l'enveloppe avec un facteur de phase, le carré du module du champ électrique, c'est tout simplement le carré du module de l'enveloppe, donc A de r et pris au temps t moins k prime zéro z en module au carré. Je vais avoir maintenant le champ électrique e de r et de t, donc là je remplace par l'ensemble de cette expression A de r et de t moins k prime zéro z et multiplié par la porteuse exponentielle de i k zéro z moins oméga zéro t. Voilà l'expression de la polarisation non-linéaire qu'il va falloir remplacer dans cette expression-là . Alors évidemment, vous voyez qu'on doit prendre la polarisation à l'instant t plus k prime zéro z, et ça ça tombe bien puisque là on a directement t moins k prime zéro z, et ici A en t moins k prime zéro z, puis par ailleurs on doit multiplier par exponentielle moins i k zéro z, donc qui va s'annuler avec celui-ci, et puis on doit multiplier par ce terme-là mais qui n'est autre que celui-ci, pris à l'instant t moins k prime zéro z, donc ce terme-là va aussi disparaître. Quand je vais remplacer, tous ces termes vont disparaître, et je vais avoir directement l'expression de l'action de l'opérateur N chapeau sur A, qui va s'écrire sous la forme suivante, d'abord je vais multiplier les préfacteurs, j'ai en facteur le nom imaginaire ici i et puis je vais avoir oméga zéro fois trois epsilon zéro chi trois, mais epsilon zéro va se simplifier avec celui-ci, donc finalement j'aurai trois oméga zéro chi trois au numérateur et au dénominateur j'aurai quatre fois deux, donc huit, le terme epsilon zéro s'est simplifié, et il me reste n zéro c. Voilà pour le préfacteur, puis je vais avoir le carré de l'enveloppe A de r et de t, puisque comme je l'ai dit le terme en k prime zéro z va disparaître, et puis ce terme-là qui va s'écrire tout simplement A de r et de t une fois que j'ai simplifié par ces termes, comme je l'avais dit. Vous voyez que finalement, cet opérateur N chapeau qui est un opérateur non-linéaire prend une forme assez simple : ce préfacteur, dans toute la suite, je vais l'appeler gamma et je pourrai simplement écrire que l'action de N chapeau sur A c'est égal à i multiplié par gamma fois le carré du module de l'enveloppe et multiplié par A de r et de t Cette polarisation non-linéaire d'ordre trois prend finalement une forme assez simple avec ce nombre gamma qui va évidemment être proportionnel à chi trois. Vous vous rappelez que dans le cours sur la méthode du pas fractionné on avait résolu l'action de l'opérateur différentiel D chapeau uniquement, donc uniquement la contribution dispersive et on avait trouvé dans ce cas-là l'opérateur de propagation correspondant. On va procéder ici de la même manière pour la contribution non-linéaire N chapeau, c'est-à -dire que je vais écrire que l'équation de l'évolution c'est simplement d A sur d Z égale N A donc je vais négliger l'action de l'opérateur D chapeau associé à la dispersion et à la diffraction. Ça aura deux intérêts : le premier évidemment, c'est qu'on a besoin de résoudre cette contribution non-linéaire si on veut implémenter l'algorithme du pas fractionné, et puis c'est évidemment intéressant dans des situations où on pourra négliger la dispersion ou négliger la diffraction, ce qui pourra arriver assez fréquemment. Dans ce cas on a une équation d'évolution qui est la suivante : d A sur d z égale d N A et donc égale i gamma fois A deux multiplié par A avec l'expression de gamma qu'on avait établie qui était proportionnelle à chi trois. Dans cette équation d'évolution, c'est une équation où on a que d A sur d z est égal à i fois ce terme-là , donc si je le représente dans le plan complexe, vous voyez que j'ai le petit point noir ici qui correspond à l'enveloppe A de r et de t, et puis dans le cas où gamma est réel, la dérivée de A par rapport à z va être simplement perpendiculaire à A, puisque j'ai ce facteur de quadrature donc on imagine bien que l'évolution ultérieure ça va être le déplacement de ce point sur le cercle, dans le plan complexe. On voit très bien de cette manière-là que le module de A va rester constant. Je vais évidemment le démontrer de manière plus rigoureuse en calculant la dérivée de A deux par rapport à z, et pour ça il faut commencer par calculer le produit de A étoile par d A sur d z. Si je fais ce calcul, je trouve que A étoile multiplié par d A sur d z c'est simplement égal à i gamma, le module de A au carré et A étoile multiplié par A, ça nous fait à nouveau le module de A au carré. Finalement, A étoile d A sur d z c'est égal à i gamma multiplié par le module de A en r et en t élevé à la puissance quatre. C'est A étoile d A sur d z, si maintenant je veux calculer la dérivée du carré du module de A deux par rapport à z, j'aurai ce terme-là et puis j'aurai le terme complexe conjugué qu'il faudra ajouter A multiplié par d A étoile sur d z, donc j'aurai le complexe conjugué de ce terme. Finalement j'aurai i gamma plus le complexe conjugué de i gamma, moins i gamma étoile gamma moins gamma étoile multiplié par A de r et de t à la puissance quatre. Vous avez remarqué qu'ici je reste dans la situation où gamma peut éventuellement être complexe, contrairement au cas de cette animation où on avait supposé que gamma était réel. Qu'est-ce que c'est que ce terme-là ? Si je divise et que je multiplie par deux i, je vais avoir deux i deux, c'est à dire moins deux et puis gamma moins gamma étoile divisé par deux i c'est la partie imaginaire de gamma, le tout multiplié par A de r et de t à la puissance quatre.
