Donc vous voyez qu'on pourra avoir une évolution de l'intensité transportée par notre faisceau dans le cas où la partie imaginaire de gamma est non-nulle. C'est une situation qu'on va considérer la semaine prochaine, mais cette semaine on s'intéresse à l'effet Kerr optique, c'est-à -dire une situation où la susceptibilité khi trois est supposée réelle et donc si khi trois est supposé réel, dans ce cas-là gamma qui lui est proportionnel va évidemment être réel, ce terme-là tombe et on trouve que le carré du module de A deux va être constant. A deux va être constant et va prendre sa valeur en z égal à zéro. Alors ce résultat va singulièrement simplifier la résolution de l'équation différentielle que nous avions ici, on avait ici une équation différentielle du premier ordre mais non-linéaire. On vient de montrer que le carré du module de A deux était constant et prenait la valeur en z égal à zéro donc finalement ce terme-là va être une constante. Notre équation différentielle non-linéaire devient tout simplement une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant. Ce terme-là va être constant et on peut donc directement écrire la solution, la solution va s'écrire A de r et de t égal à comme j'ai un coefficient constant, j'aurai simplement l'exponentielle de ce coefficient, donc j'aurai exponentielle de i gamma cette grandeur, qui est une constante, que je vais noter A deux en z égal à zéro multiplié par z et le tout agissant sur A en x, y, zéro et t Finalement, ce qu'on a ici, c'est tout simplement l'opérateur d'évolution qu'on avait défini il y a trois semaines prenant en compte l'effet non-linéaire. En résumé, nous venons d'établir que l'enveloppe du champ en un point z pouvait s'écrire comme l'action d'un opérateur U n donc je ne l'ai pas mis mais je rappelle que sa version complète c'était U n en z et zéro, donc qui correspond à la propagation entre l'origine zéro et le point de coordonnée z, selon l'axe z, agissant sur le champ en entrée A de zéro et de t. Je n'ai pas mis les coordonnées x et y parce qu'elles sont purement spectatrices dans cette propagation mais j'aurais tout à fait pu faire apparaître également x et y dans cette expression. On a ici exponentielle de i gamma au carré pris en z égal à zéro, z agissant sur A de zéro. C'est notre opérateur d'évolution. Si on revient maintenant au champ électrique, je vous rappelle que le champ électrique c'était le produit de l'enveloppe par une porteuse, et donc si je remplace ici, je vais avoir l'expression complète, où j'ai remplacé l'enveloppe au point z par l'expression qu'on avait en haut donc je vais avoir l'enveloppe initiale, prise évidemment à l'instant t moins k prime zéro z, puisqu'il faut tenir compte du fait que l'impulsion va se propager avec la vitesse de groupe un sur k prime zéro et puis j'aurai un facteur de phase qui fait intervenir différents termes : d'une part, évidemment la phase temporelle, moins i oméga zéro t, qu'on retrouve ici le terme k zéro z qui me donne k zéro z et puis la phase non-linéaire, qui va s'écrire gamma e en module au carré fois z, qui correspond au terme qui est là . J'ai remplacé le carré du module de l'enveloppe par le carré du module du champ, tout simplement parce que comme on l'a vu ici à un facteur de phase près, le carré du module du champ est proportionnel enfin est égale pardon, au carré du module de l'enveloppe. Finalement, quand on regarde l'effet de ce déphasage non-linéaire, il va revenir à modifier la valeur effective du vecteur d'onde k zéro. Plus précisément, je vous rappelle que k zéro ici, on peut l'écrire sous la forme n zéro fois oméga zéro sur c, où n zéro est l'indice linéaire dans le matériau et où oméga zéro sur c est le vecteur d'onde dans le vide, et puis ce terme ici gamma E de z au carré il va être proportionnel finalement à l'intensité qui est elle-même proportionnelle au carré du module du champ électrique. Ce terme-là , je peux l'écrire sous la forme, pour que ce soit similaire à ce qu'on a ici, je peux l'écrire sous la forme n deux fois l'intensité i, qui est proportionnelle au carré du champ électrique, fois oméga zéro sur c. Vous voyez que finalement, l'effet de la propagation non-linéaire ça va être de modifier l'indice de réfraction, je vais avoir un indice de réfraction qui maintenant va dépendre de l'intensité et que je vais pouvoir écrire d'après cette expression n zéro plus n deux fois l'intensité. L'intensité, c'est la densité de puissance du faisceau, c'est en réalité la norme du vecteur de poynting, je vous rappelle que l'intensité s'exprime en watt par mètres carrés, ou en watt par centimètres carrés, et donc l'indice non-linéaire n deux va s'exprimer en mètres carrés par watt. Ce qu'on voit, de tout ce calcul, c'est que l'indice non-linéaire n deux va être évidemment proportionnel à gamma qui est lui-même proportionnel à khi trois. La susceptibilité non-linéaire d'ordre trois est évidemment cachée dans cet indice non-linéaire. Ça, finalement, qu'est-ce que ça veut dire? Ça veut dire qu'un matériau soumis à une onde électromagnétique va va voir ses propriétés modifiées, ses niveaux d'énergie vont être déplacés, et ça aura pour conséquence que l'indice de réfraction va être modifié, va s'en trouver modifier. Il va donc dépendre de l'intensité et, finalement, ça c'est un développement limité de l'indice de réfraction en fonction de l'intensité, comme on s'est limité au terme d'ordre trois en champ électrique, on se limite à un terme d'ordre un d'intensité, mais pour des intensités encore plus élevées on pourrait imaginer qu'il y a des termes ultérieurs dans le développement. L'effet Kerr optique c'est ça, vous allez avoir une dépendance de l'indice de réfraction avec l'intensité avec donc ce coefficient n deux. Une chose qu'il faut savoir, c'est que cet indice de réfraction non-linéaire n deux est presque toujours positif, ce qui aura évidemment une incidence sur les effets non-linéaires qui vont en découler et que nous allons étudier dans les prochaines vidéos.
