Dans les précédentes vidéos, nous nous sommes intéressés à l'effet Kerr optique, mais en négligeant l'effet de la diffraction ou de la dispersion et donc en nous concentrant sur le déphasage non-linéaire lié à l'effet Kerr optique. Par exemple la lentille de Kerr dans le domaine spatial ou son équivalent dans le domaine temporel. Nous allons ici nous intéresser à l'effet de la dispersion et on pourrait faire de même pour prendre en compte la diffraction, ce qui va donner lieu à une équation de propagation plus compliquée qu'on appelle l'équation de Schrödinger non-linéaire. L'équation de propagation de l'enveloppe A de l'impulsion, on l'a déjà vue par ailleurs, on a donc vu que c'était la somme d'un terme diffractif ou dispersif et d'un terme non-linéaire, et je m'intéressais ici au cas du domaine temporel, c'est-à -dire où on considère une enveloppe qui dépend de z et de t en laissant tomber les variables transverses. On ne va donc pas s'intéresser ici à la diffraction mais uniquement à la dispersion de l'impulsion. Comme on l'a déjà vu, cette dispersion donne lieu à ces deux opérateurs différentiels, le premier dérivée seconde par rapport au temps correspond au terme de phase quadratique, et la dérivée troisième par rapport au temps correspondrait au terme de phase cubique. Puis on a naturellement ici l'effet Kerr optique lié à la polarisation non-linéaire du troisième ordre. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va négliger le terme de dispersion du troisième ordre en laissant tomber ce terme-là donc ce sera correct dans le cas où le spectre de l'impulsion est suffisamment étroit et où la phase cubique n'aura pas le temps de prendre des valeurs significatives. Dans ce cas, l'équation qu'on obtient a cette forme avec une dérivée seconde par rapport au temps et le terme d'effet Kerr optique. Cette équation, on l'appelle l'équation de Schrödinger non-linéaire, donc avec ce terme de dérivée seconde par rapport au temps et le terme non-linéaire. Alors, pourquoi? Parce qu'elle ressemble beaucoup à l'équation de Schrödinger qu'on rencontre en mécanique quantique, alors je vous rappelle que cette équation de Schrödinger va s'écrire i h barre d psi sur d t égale h psi et l'hamiltonien, pour une particule qui se déplace à une dimension, l'hamiltonien peut s'écrire sous la forme de la somme d'un terme d'énergie cinétique, que je vais écrire T ici, plus un terme d'énergie potentielle V psi. Le terme d'énergie cinétique est égal à moins h barre deux sur deux m d deux psi sur d x deux donc si je m'intéresse au mouvement d'une particule à une dimension ou avec la variable spatiale x, et le terme d'énergie potentielle va s'écrire plus V de x psi de x psi de x et de t. Voilà l'équation de Schrödinger et vous voyez qu'il y a évidemment une anologie avec l'équation qu'on a au-dessus avec une impulsion brève, à condition de faire les correspondances suivantes, c'est-à -dire d'associer la coordonnée spatiale z en optique avec la coordonnée temporelle t en mécanique quantique et puis la variable t c'est ce qui correspond au x qui est ici. Je vois que j'ai oublié le deux ici, c'est évidemment la dérivée seconde de psi par rapport à x deux, donc j'ai corrigé ici en rouge l'expression de d psi sur d x deux. Vous voyez qu'on a ici la dérivée seconde de l'enveloppe par rapport au temps, et on a ici la dérivée seconde de la fonction d'onde par rapport à x, donc l'équivalent du temps en optique ce sera évidemment la position en mécanique quantique. Ces deux équations en optique et en mécanique quantique sont très similaires, on a l'équivalent de l'opérateur d'énergie cinétique, ce sera l'opérateur de dispersion ici, et l'équivalent du terme énergie potentielle, ce sera cet opérateur ici non-linéaire. La différence principale entre les deux, c'est que en mécanique quantique, en tout cas si on s'intéresse à une seule particule, on a une équation différentielle qui est une équation différentielle linéaire, on a aussi simplement la multiplication par un terme d'énergie potentielle alors qu'en optique non-linéaire, ce qui va remplacer l'opérateur d'énergie potentielle c'est un terme non-linéaire qui dépend du carré de l'enveloppe de l'impulsion. C'est pour ça qu'on appelle cette équation l'équation de Schrödinger non-linéaire, parce qu'il y a ce terme non-linéaire en plus. Mais vous voyez qu'il y a une analogie assez forte avec la mécanique quantique. En fait, en mécanique quantique aussi il arrive qu'on rencontre des situations où le potentiel dépend de manière non-linéaire de la fonction d'onde, c'est le cas par exemple si on a un grand nombre de particules en interaction, mais ce n'est pas le sujet de ce cours, simplement ici on va voir comment on peut résoudre cette équation de Schrödinger non-linéaire, et d'ailleurs les méthodes qu'on va utiliser, comme la méthode du pas fractionné, peuvent aussi être utilisées en physique quantique. Avant de nous attaquer à la résolution de cette équation de Schrödinger non-linéaire, je voudrais rappeler ce qu'on a déjà vu sur les effets respectifs de la dispersion et de la non-linéarité. Comme on l'a vu ces dernières semaines, lorsqu'on a que la dispersion qui est prise en compte ou que la linéarité, dans ce cas on sait facilement résoudre l'équation de propagation. Commençons par la dispersion seule, dans ce cas-là on a d A sur d z qui est égale à D chapeau agissant sur A, dans l'espace des fréquences on aura simplement un terme en i oméga deux qui va apparaître, et donc ça va faire qu'on aura accumulation d'une phase spectrale phi de oméga. C'est l'effet de cette phase spectrale que vous avez ici où on représente de deux manières différentes le champ e de oméga et sa transformée de Fourier e de t, donc ici en z égal à zéro pour l'instant, donc vous avez un champ réel, une impulsion gaussienne limitée par transformée de Fourier, et puis dans cette image vous avez le champ E de oméga ou E de t vu de haut mais codé en fausses couleurs, sachant que comme d'habitude la phase du champ va être codée par les couleurs que vous avez ici, et puis l'amplitude du champ va être codée par l'intensité lumineuse du signal. Donc évidemment noir ça veut dire zéro et ici on a un champ qui est concentré autour de la fréquence nulle, puisque ce que je représente c'est l'enveloppe, j'aurais dû mettre ici A de oméga plutôt que E de oméga. Puis ici vous avez l'impulsion dans le domaine temporel. Donc ce qu'on voit, c'est qu'en fonction de z lors de la propagation de l'impulsion dans le matériau, on voit que petit à petit on a apparition d'une phase spectrale quadratique, ce qu'on voit ici dans le domaine des fréquences, donc là on a une phase phi de oméga qui aura cette allure, qui va dépendre évidemment de z, et qui va aller en augmentant lorsque z augmente, c'est pour ça que les couleurs ici vont apparaître de plus en plus rapidement. Puis dans le domaine temporel, du coup on n'a plus une impulsion limitée de la transformée de Fourier, en raison de cette phase quadratique on va avoir une impulsion à dérive fréquence et donc une impulsion dont d'une part la durée de l'impulsion va augmenter et d'autre part la phase temporelle n'est pas constante, on va avoir une phase quadratique avec une courbure cette fois ci tournée vers le bas, donc une phase phi de t qui aura cette allure-là , ce qui correspondra à une dérive de fréquence et à une variation de fréquence avec le temps, et vu de haut ici dans cette représentation-là , on voit que la durée de l'impulsion augmente avec z et puis on voit également les couleurs correspondant au fait qu'on aura une phase temporelle courbée vers le bas. Je rappelle évidemment que la phase phi de oméga, qui va dépendre de z, on connait son expression phi de oméga, on avait vu que c'était égal à k zéro seconde, le terme de dispersion qui intervient dans l'équation oméga deux, qui correspond au moins oméga deux ici, donc on aura un terme en i oméga deux et puis évidemment la distance de propagation divisée par deux. On a bien une phase quadratique, comme représenté ici, dont la courbure va être proportionnelle à z. Puis aussi une remarque qu'appelle ce mode de représentation-là , c'est que ça met bien en évidence l'analogie spatio-temporelle dont on avait déjà parlé, c'est-à -dire que l'allongement de la durée de l'impulsion ici en fonction de z nous fait penser à la diffraction d'un faisceau lumineux, et c'est bien ce à quoi ça ressemble ici, on a une variation hyperbolique de la durée de l'impulsion en fonction de la distance de propagation z. Donc ça c'est ce qu'on a dans le cas où on a que la dispersion. Maintenant, si on a que la non-linéarité, dans ce cas-là c'est cet opérateur non-linéaire N, et on avait vu dans ce cas qu'on avait une phase temporelle phi de t, qui dépend aussi de z, et dans ce cas-là cette phase temporelle phi de t, c'est l'accumulation de la phase non-linéaire le long de la propagation, donc c'est ce terme-là directement, donc cette phase phi de t elle sera égale à gamma A deux multiplié par z, je vous rappelle qu'on avait trouvé que dans ce cas l'intensité temporelle restait constante, ce qu'on retrouve ici et par contre, évidemment le spectre va s'élargir, ce qu'on voit ici et puis au bout d'une certaine distance de propagation on aura cette forme de spectre. Là j'ai pris le cas particulier où l'intégrale B, c'est-à -dire le déphasage maximum au centre de l'impulsion au bout d'une distance de propagation de dix millimètres est égal à cinq, ce qui fait une déformation assez sensible du spectre de l'impulsion. Vous voyez donc qu'il y a une grande symétrie entre la dispersion d'une part et la non-linéarité d'autre part, quand on a que la dispersion, le spectre se conserve, la largeur en tout cas le carré du module du spectre va se conserver, alors qu'on a un allongement de la durée d'impulsion, et puis quand on a que la non-linéarité c'est le contraire, la durée de l'impulsion, la forme de l'intensité temporelle reste inchangée alors qu'on a une variation du spectre de l'impulsion.
