maintenant s'intéresser à la résolution de cette fameuse équation de Schrödinger non-linéaire où on va prendre en compte simultanément l'effet de la dispersion et l'effet de la non-linéarité. Donc comme on l'a vu lors du cours de la quatrième semaine, on dispose pour ça d'une méthode numérique, qui s'appelle la méthode du pas fractionné, et qui va consister à découper en tranches l'épaisseur du, l'épaisseur du matériau, où on va prendre successivement en compte soit l'effet dispersif, soit l'effet non-linéaire. Donc c'est ce que j'ai commencé à faire ici, où j'ai supposé que ce matériau d'épaisseur égale à 10 millimètres, eh bien on commençait par 5 millimètres où on avait que la dispersion, donc c'est coloré ici en bleu correspondant à l'opérateur dispersion, et puis ensuite 5 millimètres, où on a que l'effet non-linéaire, c'est pour ça qu'on a ici colorié en vert cette partie de, cette partie de l'échantillon. Et puis évidemment pour compenser le fait qu'on avait divisé par 2 l'épaisseur de matériau, j'ai multiplié par 2 la valeur de k seconde dans cette partie là , et j'ai multiplié par 2 la valeur de gamma dans cette partie-là . Et voilà le résultat qu'on obtient. Donc ce qu'on observe, c'est que dans la partie purement dispersive, on a une, ben un étalement de l'impulsion qui est encore bien plus rapide que ce qu'on avait tout à l'heure, parce que le coefficient de dispersion est plus important, donc ça aura pour effet de diminuer l'intensité temporelle, et comme on a diminué l'intensité temporelle dans la deuxième partie de l'échantillon où on a l'effet non-linéaire, comme l'intensité temporelle est beaucoup plus faible, eh bien finalement, il y a beaucoup moins d'effet sur l'élargissement du spectre qui là est à peine visible. Donc il est clair que si on fait comme ça, comme je l'avais déjà dit quand j'avais introduit la méthode du pas fractionné, eh bien, ça va pas fonctionner. D'ailleurs pour s'en convaincre, on pourrait faire aussi le contraire, c'est-à -dire commencer par supposer qu'on a la moitié de l'échantillon qui est non-linéaire et puis ensuite la deuxième moitié qui est purement dispersive, donc dans ce cas-là , ce qui va se passer c'est qu'on va avoir dans la première partie un élargissement considérable du spectre, et puis dans la deuxième partie, comme on a spectre qui va être très large, eh bien, on aura un effet considérable de la dispersion, puisque la dispersion varie comme le carré de la largeur du spectre, et donc la durée de l'impulsion va énormément augmenter. Donc clairement, ça va pas fonctionner si on utilise l'une ou l'autre de ces méthodes. Mais ce qu'on avait vu dans la méthode du pas fractionné, c'est que si on fait tendre cette longueur ici vers 0 en découpant l'échantillon en tranches, là on avait une chance que ça fonctionne. Donc voyons ce qui se passe quand j'utilise des tronçons d'échantillon 2 fois plus petits, 4 fois plus petits ou 8 fois plus petits, vous voyez que petit à petit, finalement, on a la même chose à gauche et à droite, on a un comportement qui se ressemble beaucoup, et on voit bien que la méthode va converger quand, quand j'utilise vraiment des tranches qui sont extrêmement petites, où on a que la dispersion ou que la non-linéarité. Donc ce que vous venez de voir ici, c'est par une illustration numérique de la convergence de cette méthode du pas fractionné, où vous voyez que finalement on obtient exactement le même résultat, qu'on ait commencé par une tranche de matériau dispersive ou qu'on ait commencé par une tranche de matériau non-linéaire. Donc c'est cette méthode du pas fractionné qui fonctionne, qui fonctionne fort bien, qu'on va utiliser pour, pour maintenant discuter ce qu'il advient d'une impulsion lorsqu'elle est soumise à une propagation à la fois dispersive et non-linéaire. Considérons donc maintenant le cas de la propagation d'une impulsion gaussienne, dans un milieu de dispersion de vitesse de groupe positive, ce qui était le cas jusqu'à maintenant, donc, et regardons l'effet de la propagation non-linéaire. Donc ce qu'on voit c'est qu'on a un, une variation de, de, à la fois de la largeur spectrale et de la largeur temporelle. En fait, ce qu'on peut montrer, c'est que dans le cas où la dispersion de vitesse de groupe est positive, eh bien l'effet de la non-linéarité optique s'ajoute à l'effet de la dispersion. Ce que j'entends par là , c'est que si je considère en fonction du temps l'intensité temporelle et donc la phase temporelle, on avait vu que ça reproduisait la forme de l'impulsion, et puis si maintenant je trace la fréquence instantanée, la fréquence instantanée c'est moins D phi sur D t, donc si je dérive cette fonction et que je prends l'opposée, je vais obtenir une fréquence, une fréquence instantanée qui aura, qui aura cette allure-là , donc oméga de t, vous vous rappelez c'est, c'est moins D phi sur D t, donc je vais avoir une fréquence instantanée qui, au cours du temps, va d'abord être négative, cette variation de fréquence instantanée qui va être d'abord négative et ensuite positive, ça veut dire que je vais avoir d'abord un décalage vers le rouge de l'impulsion et ensuite vers le bleu. Donc l'impulsion après sa propagation, si j'ai une impulsion qui rentre, qui se progage dans un milieu, dans un milieu dispersif, excusez-moi, dans un milieu non-linéaire, eh bien en sortie du milieu non-linéaire, je vais avoir une impulsion où j'aurai sur le front avant la partie rouge et sur le front arrière la partie bleue. Ca, c'est exactement ce qu'on a aussi dans un milieu dispersif, la différence c'est que dans un milieu dispersif, ce sont les différentes composantes spectrales qui constituent l'impulsion qui vont s'étaler pour qu'on ait donc le rouge sur le front avant et le bleu sur le front arrière, parce que la dispersion de vitesse de groupe est positive, alors que dans, avec l'effet Kerr optique, ce qui se passe c'est qu'on produit de nouvelles fréquences vers le rouge ou vers le bleu sous l'action de la modulation de phase. Mais les deux effets vont dans le même sens, c'est-à -dire que le rouge se trouve à l'avant et le bleu à l'arrière, ce qui va faire qu'on a ici un étalement de l'impulsion. Il est donc légitime de se poser la question de savoir ce qui se passe lorsque la dispersion de vitesse de groupe k seconde est négative, ce qui est le cas de cette diapositive. On va supposer une dispersion de vitesse de groupe négative toujours avec une impulsion de forme initiale gaussienne. Alors il se trouve que dans le visible, pour tous les matériaux, la dispersion de vitesse de groupe est positive, mais dans l'infrarouge il existe des matériaux enfin, dans beaucoup de matériaux, dans le proche infrarouge, la dispersion de vitesse de groupe est négative, donc le cas qu'on va considérer ici n'est pas du tout, n'est pas du tout hypothétique. Et donc ce qu'on voit ici, c'est que l'étalement de l'impulsion est beaucoup plus faible que ce qu'on avait tout à l'heure, on a ici un étalement de l'impulsion qui est moins important, et la raison c'est tout simplement que le, maintenant, l'effet non-linéaire sera toujours dans le même sens que tout à l'heure mais l'effet dispersif aura changé de signe. Donc si vous voulez, alors qu'avant on avait la propagation sous l'action conjuguée de la diffraction et d'une lentille divergente, pour reprendre l'analogie spatio-temporelle, eh bien ici, on va avoir l'action conjuguée de la diffraction et d'une lentille convergente, et donc les deux effets vont se compenser, et on pourra, et on aura donc une moindre divergence. Donc c'est ce qu'on voit, c'est ce qu'on voit ici où le faisceau diverge moins. Et également, si on choisit bien la distance focale de cette lentille convergente, on va pouvoir essayer d'avoir un faisceau qui reste bien, bien collimaté, et c'est ce qu'on peut faire en changeant par exemple la largeur spectrale de l'impulsion. Donc c'est ce que vais faire ici, je peux ici changer la largeur spectrale de l'impulsion et donc ça va changer l'effet, finalement, de la dispersion sur la propagation, et vous voyez que si je prends une impulsion qui est suffisamment, suffisamment étroite comme ceci, eh bien je vais avoir une impulsion dont la durée va être à peu près constante lors de la propagation et la largeur spectrale va être à peu près constante parce qu'on a compensation entre les deux effets. Alors si on regarde ici pour une impulsion de forme gaussienne, vous verrez que la compensation n'est pas parfaite, si je varie la, si je regarde au cours de, le long de la propagation, vous voyez que j'ai quand même une déformation de, à la fois de l'intensité temporelle et de l'intensité spectrale, donc c'est pas parfait mais on a quand même cet effet de compensation et propagation. Dans le domaine spatial on appellerait ça propagation d'un filament le long de, le long de la distance de propagation, propagation z. Donc ça c'est pour une impulsion gaussienne. Il existe des impulsions pour lesquelles cette compensation entre effet dispersif et effet non-linéaire est parfaite, et c'est le cas de la sécante hyperbolique carrée, donc une sécante hyperbolique c'est l'inverse d'un cosinus hyperbolique, donc ici je dois supposer que l'enveloppe s'écrit comme l'inverse d'un cosinus hyperbolique de t sur tau, et donc l'intensité temporelle ce sera une sécante hyperbolique carrée, c'est-à -dire l'inverse du carré d'un cosinus, cosinus hyperbolique. Donc vous avez ici l'effet de la propagation donc à la fois avec la dispersion et la non-linéarité. Alors là on a clairement pas une compensation parfaite : après 10 millimètres de propagation, l'impulsion n'a plus la forme d'une sécante, d'une sécante hyperbolique carrée, mais par contre si je, si j'ajuste la largeur de l'impulsion comme je l'ai fait tout à l'heure, vous allez voir qu'en choisissant bien la largeur de mon impulsion, donc là j'en suis pas très loin, en choisissant bien la largeur de mon impulsion, eh bien j'ai maintenant une impulsion dont le profil temporel et le profil spectral restent invariants tout le long de la propagation. Je garde une forme de sécante hyperbolique tout le long de la propagation. La seule chose qui va évoluer ici, c'est la phase. Vous voyez que la phase peut varier de manière linéaire avec la position, donc ça c'est une propriété remarquable de la sécante hyperbolique carrée, c'est une solution invariante de l'équation de Schrödinger non-linéaire, et on a propagation donc de cette impulsion sans déformation sur éventuellement de longues distances, c'est ce qu'on appelle un soliton. C'est un phénomène qui se produit non seulement en optique non-linéaire mais dans d'autres domaines de la physique, de la physique non-linéaire. En hydrodynamique, par exemple, vous pouvez avoir propagation d'une vague sur de grandes distances où vous aurez compensation entre les effets non-linéaires et les effets dispersifs, exactement de la même manière que ce qu'on a vu ici.
