Hola. Iniciamos un nuevo módulo en nuestro curso de Sistemas Difusos. Este módulo está destinado al concepto de aritmética difusa y su aprovechamiento en un tipo de sistemas denominados Sistemas de computación con palabras, basados en aritmética difusa. En este video presentamos el concepto básico de aritmética difusa que es el de número difuso. Haremos la presentación formal del concepto y luego una explicación de qué significa esa definición y sus consecuencias prácticas. Bien, la definición formal se debe a Bernadette Bouchon-Meunier, una matemática francesa y es la que ustedes estan leyendo. Número difuso es un conjunto difuso sobre R, sobre los reales, normal, convexo, semicontinuo superiormente. Expliquemos de qué se trata eso. La parte fácil de la definición, es decir que, es un conjunto sobre los reales, es decir que nuestro universo de discurso, son los reales. Recordemos el concepto de alfacorte para poder dar una definición alternativa. Supongamos un conjunto trapezoidal cualquiera y escogemos un valor de alfa entre 0 y 1. El alfacorte es el corte que se hace sobre ese conjunto difuso, tomando aquellos valores del universo que tienen un grado de pertenencia mayor o igual que ese alfa. Entonces, hacemos el corte, proyectamos el corte sobre el universo de discurso, y obtenemos el alfacorte. Realmente hay dos definiciones. La de alfacorte que acabo de presentar y una con una variación pequeñita, que en lugar de tomar las funciones de pertenencia mayores o iguales, toma las funciones de pertenencia estrictamente mayores y uno utiliza, las dos definiciones. Bueno, ¿qué es lo que tienen de particular los números difusos? Que sus alfacortes, todos los alfacortes, son intervalos cerrados. Esa es la caracterÃstica fundamental de un número difuso. No importa cuál sea el alfacorte que hagamos, obtenemos un intervalo cerrado. Para eso entonces, nos toca jugar un poco con las dos definiciones de, la que toma el mayor o igual que la función de pertenencia y la que toma el mayor, para poder tomar alfacortes en 0 y alfacortes en 1. Entonces el alfacorte en 0 es el soporte del conjunto, es decir, todos los elementos del universo de discurso que tienen grado de pertenencia mayor que 0 y para cualquier otro valor de alfa que no sea 0, tomamos el mayor o igual. Muy bien. Veamos algunos ejemplos de conjuntos difusos sobre los reales que no son números difusos, es decir, que no satisfacen esta definición para aclarar la definición formal. Por ejemplo, este trapecio. Este trapecio no sube hasta 1 el grado de pertenencia, entonces si trazamos un alfacorte donde lo estamos mostrando, la intercesión es el conjunto vacÃo o sea, el alfacorte no es un intervalo cerrado y por tanto ese conjunto no es un número difuso. La propiedad que no está cumpliendo este conjunto difuso es la de ser normal. Un conjunto normal tiene al menos un elemento del universo de discurso, cuyo grado de pertenencia es 1 y aquà eso no se cumple, entonces este conjunto no es normal y por tanto, no satisface la definición formal y por tanto, hay alfacortes que no son intervalos cerrados. Ahora, un segundo ejemplo. Este conjunto difuso sobre los reales sà es normal, sube hasta 1 pero si hacemos un alfacorte en el punto que estamos marcando, digamos más o menos 0.75, el resultado es que alfacorte no es un intervalo cerrado, en este caso es la unión de dos intervalos cerrados. Entonces este no es tampoco un número difuso. La propiedad que no satisface este conjunto es la de convexidad. Este conjunto no es convexo y la definición matemática de la convexidad se ve también geométricamente cuando uno dibuja el, la función de pertenencia. Esa función de pertenencia claramente no es convexa porque tiene una concavidad en la mitad de la definición. Un tercer ejemplo. Este conjunto difuso que estamos mostrando sà es normal, sube hasta 1, sà es convexo, pero no es continuo, hay una discontinuidad y esa discontinuidad es tal, que si miramos cuál es el grado de pertenencia justo en el punto que está la discontinuidad, corresponde al grado de pertenencia de abajo, no la de arriba. Hemos marcado esos pequeños circulitos para identificar que el grado de pertenencia no está ahà sino que está abajo. De tal manera que si hacemos un alfacorte en la mitad de la discontinuidad, lo que obtenemos es un intervalo abierto. En este caso en los dos extremos, no es un intervalo cerrado y pr tanto, este conjunto difuso no es un número difuso. La propiedad que no satisface este conjunto difuso es la de ser semicontinuo superiormente. Semi, porque puede ser discontinuo pero, teniendo el grado de pertenencia definido de tal manera que si yo hago el alfacorte, si tomo el intervalo cerrado. Es decir, si yo bajo el circulito en esta definición a la discontinuidad en la parte de abajo, si obtendrÃa un conjunto semicontinuo superiormente. Bueno, la conclusión entonces, lo que hay que recordar es que un número difuso es un conjunto sobre los reales tal, que cuando yo haga un alfacorte voy a obtener un intervalo cerrado. Esa propiedad va a resultar muy importante cuando veamos cómo hacer operaciones con los números, con los números difusos. Hay unos conjuntos supremamente populares, unos números difusos conjuntamente populares que son los trapecios y los triángulos. Entonces, como son tan populares, vamos a utilizar esa notación de la T y cuatro números ordenados, a menor que b, menor que c, menor que d, menor o igual realmente, conjuntos ordenados para definir un trapecio, un número difuso de forma trapezoidal. O si utilizamos tres números también ordenados, a menor igual que b, b menor igual que c, un conjunto difuso de forma triangular, un número difuso. Y estos números tienen las funciones que son normales, que están definidas sobre los reales, que son convexas y son semicontinuos superiormente. Entonces aquà estamos trabajando con certeza en números difusos. Un ejemplo. Un trapecio, 1, 2, 4, 7. Al dar esos números, al dar el trapecio 1,2,4,7, ustedes you saben de qué número difuso estamos hablando. Espero que you lo estén imaginando, la forma de ese número difuso sobre los ejes raeles. Es la siguiente. Verdad, era esa, ¿no es cierto? ¿Para qué nos sirven en general los números difusos? Para representar cantidades numéricas sobre las que tenemos algún tipo de incertidumbre y poder convertir expresiones linguisticas como las que leemos allÃ, llegaré cerca de las 10 pm. Cuesta más o menos 100 dólares. Mide aproximadamente dos hectáreas. Sabemos que la incertidumbre sobre cantidades numéricas, también puede representarse con distribuciones de probabilidad. Pero a veces no tenemos la información suficiente para construir esas distribuciones de probabilidad. ¿Qué significa en términos probabilÃsticos, cerca de las 10 pm? No, no tenemos esa información pero sà podemos construir un concepto asociado a, cerca de las 10 pm, basados en números difusos. Los números difusos entonces tienen ese gran potencial, de representar incertidumbre en las cantidades o dicho de otra manera, cantidades con incertidumbre. En el siguiente video, vamos a dar los principios matemáticos que nos permiten hacer operaciones sobre, estos números difusos. Gracias.
