Hola. Damos inicio al segundo módulo de nuestro curso de "Sistemas difusos". Este módulo está destinado a presentar una de las aplicaciones más populares de los sistemas difusos, que son los sistemas basados en reglas, también conocidos como "controladores difusos". Este video está destinado a presentar un concepto muy útil, no solo para los sistemas basados en reglas, sino para otro tipo de aplicaciones: el concepto de variable lingüÃstica. Es un tipo de variable que nosotros podemos valorar utilizando palabras. Por ejemplo, imaginemos el conjunto de todos los libros y queremos analizar el contenido de esos libros. Nuestra variable es el tipo de contenido de los libros y la forma en que podemos valorar esa variable, en la que podemos darle un valor, puede ser con palabras y decir que el contenido de un libro es novela o que el contenido de un libro es un texto escolar, y tenemos mucha información con esa descripción lingüÃstica que hacemos del libro. Pero en las aplicaciones de estos sistemas difusos, somos más restrictivos en el concepto de variable lingüÃstica. Para nosotros, en este contexto en el que estamos, las variables lingüÃsticas son variables cuyos valores pueden ser o términos lingüÃsticos o números, y tenemos la posibilidad de utilizar valores cualitativos (palabras) o valores cuantitativos (números) para hacer una descripción de esa variable lingüÃstica. Una valoración, realmente, de esa variable lingüÃstica. Por ejemplo, con los mismos libros, ahora pensemos que nuestra preocupación es la extensión de ese libro. ¿Qué tan grande es? Podemos utilizar términos para referirnos a ellos. Por ejemplo, decir que el texto, el libro, es corto o de tamaño intermedio, largo, muy largo o utilizar números. Por ejemplo, el número de páginas, el número de palabras o el número de caracteres. Número. Cualquiera de los dos caminos que utilicemos nos da una información sobre la variable que estamos analizando, la extensión del libro. Esa es la noción de variable lingüÃstica en el concepto de los sistemas difusos. ¿Cómo la construimos? Necesitamos varias cosas para construir una variable lingüÃstica. Lo primero, darle un nombre. Por ejemplo, "Extensión", continuando con el ejemplo de los libros, qué tan grande es el libro. Toca darle un nombre a esa variable. Como podemos valorarla lingüÃsticamente, debemos definir los términos lingüÃsticos con los que vamos a calificar esa variable. Esos términos lingüÃsticos también suelen llamarse "etiquetas lingüÃsticas" y, tÃpicamente, son adjetivos que califican la variable. Por ejemplo, corto, intermedio, largo, muy largo. La segunda cosa que necesitamos, el conjunto de etiquetas, conjunto de términos. Tercera cosa que necesitamos; como podemos hacer una valoración numérica, debemos definir el universo de discurso, que tÃpicamente será un rango de la recta real, un intervalo de la recta real o toda la recta real. El universo de discurso, entonces, es el rango de valores numéricos que puede recibir nuestra variable. Finalmente, y esta es una parte muy importante, necesitamos ligar el mundo lingüÃstico con el mundo numérico. De eso se encarga la función semántica. "Semántica", significado. La función semántica la construimos con conjuntos difusos y ahà entran los conjuntos difusos a ayudarnos a establecer un vÃnculo entre el mundo lingüÃstico y el mundo numérico. Por ejemplo, en nuestra variable "extensión del libro", deberÃamos asignar a cada etiqueta un conjunto difuso, como se muestra en este ejemplo, y le hemos dado distintos colores para mostrar que la función semántica relaciona el número de páginas que está en el eje horizontal con el concepto "corto", representado por la C. ¿Cómo? A través de la función de pertenencia marcada en azul. Esa es la función semántica. Y lo mismo tenemos para el concepto "intermedio", "largo" y "muy largo". Con conjuntos difusos logramos vincular las palabras con los números. Esa es la importancia real de la función semántica; establecer ese puente a través del significado, que puede ser visto desde cualquiera de los dos universos, desde el universo cualitativo, desde ese mundo cualitativo, el de las palabras, el de los adjetivos. Gracias a la función semántica, tiene sentido el número. Podemos interpretar cualitativamente un dato numérico y, si nos dicen que el libro tiene 300 páginas, ya podemos saber si eso es corto, intermedio, largo, muy largo. Y desde el mundo cualitativo también tenemos una posibilidad de interpretar las palabras. ¿Qué significa que un libro sea largo? Gracias a la función semántica, podemos convertir eso en números. Y la función semántica nos permite lidiar, por decirlo de esa manera, con problemas asociados a la información que manejamos. Por ejemplo, la subjetividad, la vaguedad, la ambigüedad, la imprecisión. La función semántica logra modelar estos elementos y nos permitirá viajar del mundo de las palabras al mundo de los números y viceversa. En la construcción de variables lingüÃsticas, es necesario utilizar conjuntos difusos. Vamos a presentar ahora unas formas tÃpicas de conjuntos difusos. Comenzamos con la forma Tipo L, que son 3 trazos de lÃneas rectas, estableciendo 2 vértices. En este caso, el primer vértice está en el valor numérico a y el segundo vértice en el valor numérico b. La función de pertenencia de este conjunto difuso, vamos a describirla. Para valores menores que a, la función de pertenencia vale 1. Para funciones mayores que b, la función de pertenencia vale 0, y hay una transición con una lÃnea recta entre a y b. De manera semejante, podemos presentar otras formas tÃpicas. Vamos ahora con la función Tipo Gamma, Gamma mayúscula, que tiene la forma que ustedes ven. También 3 trazos rectos, estableciéndose 2 vértices. En este caso, serÃan el d y el e. La función de pertenencia, la expresión matemática, es la que ustedes ven en esa transparencia. 0 antes de d, 1 para valores mayores que e, y una transición con una lÃnea recta entre d y e. Otra forma tÃpica, la forma Lambda, Lambda mayúscula, o la forma triangular también podrÃamos llamarla. Una muy popular, la forma trapezoidal, también conocida como Pi, de la forma Pi mayúscula. Esta es muy, muy, muy utilizada. Tiene la forma que ustedes ven. La hemos dibujado de manera simétrica. Lo que pasa en la rampa ascendente y lo que pasa en la rampa descendente es simétrico, pero no necesariamente tiene que ser asÃ. Esta forma es tan popular que vamos a utilizar una nomenclatura que es la letra T. Esa letra T significará función de pertenencia trapezoidal y estará definida por los 4 vértices. En este ejemplo, el vértice a, b, c, d. La función de pertenencia trapezoidal nos va a permitir también escribir de manera resumida otras formas de pertenencia. Por ejemplo, supongamos que nuestro universo de discurso es un intervalo cerrado entre un valor mÃnimo y máximo. Está ahÃ. Ese trocito de la recta real. Utilizando la función trapezoidal, podemos escribir de manera muy resumida las formas anteriores que hemos presentado, la forma Tipo L, la forma de Gamma, la forma triangular y la misma trapecio. Por ejemplo, la tipo triángulo. El triángulo que está en el ejemplo tiene los vértices en c, d y e. Eso es como un trapecio que tiene sus vértices en c, en d, en d y en e. La fórmula trapezoidal abarca los casos anteriores y por eso es bastante utilizada. La transición que hacemos a través de lÃneas rectas de 0 a 1, también podemos hacerlas con curvas suaves. Hay diversas formas de dibujar esas curvas suaves o de representarlas matemáticamente. Hay quienes utilizan, por ejemplo, campanas de Gauss, o se pueden utilizar también funciones trigonométricas inversas arcotangente. A mà me gusta utilizar potencias de la variable x, que es lo que estoy mostrando aquÃ. Para hacer la transición entre a y b, podemos hacerlo con una lÃnea recta o con una curva dibujando 2 trozos, un trozo entre a y b y otro trozo entre b y c. En ambos casos, son potencias de la variable x. Esa potencia está dada por el exponente. El exponente, si es 2, serÃa una parábola con 2 concavidades diferentes, y la concavidad cambia en un punto intermedio, que es b. Eso es lo que se expresa en esa función matemática. Y para bajar, algo semejante. De nuevo, se pueden utilizar otras funciones matemáticas. Veamos el efecto de los 2 parámetros para dibujar, en últimas, variables lingüÃsticas con formas curvas. Observen el subÃndice c que pusimos aquà para identificar una forma, por ejemplo, trapezoidal, pero curva. Veamos el efecto de los parámetros. Si cambio el exponente, cambio la forma de la curva. El exponente 1 corresponde al de la lÃnea recta, pero con otro valor distinto de Gamma, tendrÃamos curvaturas diferentes. Y si cambio el valor de Lambda, lo que estoy cambiando es el punto en donde hago ese cambio de inflexión. Lo más usual es utilizar unas parábolas, es decir, el exponente en 2, y hacer este cambio de inflexión en la mitad, o sea, Lambda igual 0,5. Eso es lo más popular. Las variables lingüÃsticas suelen verse con formas parecidas a las que estoy presentando en este momento. Son formas tÃpicas de variables lingüÃsticas, con la diferencia en que no necesariamente los conjuntos se distribuyen de manera homogénea en el universo de discurso, como en estos ejemplos. Pero lo que quiero representar es que es usual utilizar o transiciones rectas (conjuntos rectos) o transiciones curvas (conjuntos curvos), utilizando las funciones tÃpicas que acabo de presentar. Ahora bien, noten la diferencia entre las dos variables lingüÃsticas con conjuntos rectos al comienzo y al final del universo. En el caso de arriba, hay un intervalo en donde la función de pertenencia es 1. En el de abajo no; la transición comienza desde el comienzo del universo de discurso. La diferencia entre estas 2 formas de diseñar las variables lingüÃsticas va a tener consecuencias importantes en el comportamiento del sistema basado en reglas y por eso lo destaco. Sea cual sea la forma que diseñamos de nuestras variables lingüÃsticas, es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones. Lo primero es que nuestra variable lingüÃstica debe establecer una partición difusa sobre el universo. ¿Qué significa una partición difusa? Consideren ustedes cualquier valor de x. Ese x tiene un grado de pertenencia al primer conjunto difuso, tiene otro grado de pertenencia al segundo conjunto difuso, tiene otro grado de pertenencia a cada uno de los conjuntos difusos. Para que sea una partición difusa, la suma de todos esos grados de pertenencia debe ser 1. ¿Para qué x? Para todos los x. Si ustedes observan el caso dibujado en rojo, que no es una partición difusa, vemos este valor que estoy señalando, tiene un grado de pertenencia solo a la segunda etiqueta y es menor que 1. La suma de todos sus grados de pertenencia no es 1. La importancia de esa propiedad, que la variable lingüÃstica establezca una partición difusa, es que distribuye muy bien el universo de discurso entre los distintos conjuntos. La segunda propiedad es buscar que los conjuntos que se trasladan, que corresponden a conceptos lingüÃsticos cercanos, solo se traslapen para máximo 2 conjuntos difusos, que no haya un traslapo entre más de 3 conjuntos, es decir, entre más de 3 términos. Que la incertidumbre o la subjetividad la esté modelando como el salto entre un concepto y el siguiente. Entre bajo y medio, ¿dónde es la frontera? No lo sé, pero no voy a mezclar bajo y, por ejemplo, alto. En un ejemplo tÃpico de una variable lingüÃstica con los términos bajo, medio y alto, eso es lo que buscamos, que el traslapo sea solo entre bajo y medio y entre medio y alto. Eso va a ayudar a darle una interpretación a los términos lingüÃsticos. Y la tercera recomendación es que los conjuntos difusos que construyamos sean normales. ¿Qué es un conjunto normal? Un conjunto normal es aquel que sube hasta 1, digámoslo asÃ, en los grados de pertenencia, que al menos hay un valor en donde el grado de pertenencia a ese conjunto es 1. Ese es el caso, por ejemplo, que mostramos en la variable lingüÃstica dibujada en azul, pero no lo es en la roja, en donde la etiqueta que está en la mitad no sube hasta 1 y entonces no es normal. Si ustedes observan, las formas tÃpicas de variables lingüÃsticas que hemos presentado satisfacen las 3 sugerencias, que algunos autores las llaman requisitos: partición difusa, traslapo de máximo 2 conceptos y normalidad de los conjuntos. Muchas gracias.
