Bonjour et bienvenue à ce MOOC de thermodynamique. Cette leçon est consacrée à la notion d'équilibre. Pour ce faire, on va considérer un système isolé, qui est constitué de 2 sous-systèmes simples, qui sont séparés par une paroi diatherme, mobile et perméable. On va en déduire la condition d'équilibre. On verra que cette condition d'équilibre requiert premièrement, l'équilibre thermique, deuxièmement, l'équilibre mécanique, et troisièmement, l'équilibre chimique. On considère donc un système isolé, constitué de 2 sous-systèmes, qui sont séparés par une paroi diatherme, mobile et perméable. Le système est isolé, ce qui signifie que la puissance thermique P Q et la puissance mécanique P W, qui sont exercées par l'extérieur sur le système, sont nulles. Pour décrire la thermodynamique de ce système, il faut 3 types de variables extensives : l'entropie, le volume et le nombre de moles. Étant donné qu'il y a 2 sous-systèmes, qui sont des sous-systèmes simples, il faudra 2 variables entropies, S1 et S2, 2 variables volumes, V1 et V2, et 2 variables nombre de moles, N1 et N2. On va maintenant exprimer la dérivée temporelle de l'énergie interne, de chaque sous-système, en fonction de ces variables d'état. U1 point qui est fonction des variables d'état du premier sous-système, c'est-à -dire S1, V1 et N1, est égal à T1 S1 point moins p1 V1 point plus mu 1 N1 point. U2 point, qui est fonction des variables d'état du deuxième sous-système, à savoir S2, V2 et N2, est égal à T2 S2 point moins p2 V2 point plus mu 2 N2 point. L'énergie interne U du système est une fonction d'état, c'est donc une fonction de l'ensemble des variables d'état du système, à savoir S1, S2, V1, V2, N1 et N2. C'est une fonction d'état extensive. C'est donc la somme des énergies internes des 2 sous-systèmes, donc U est égal à U1 plus U2. On peut prendre la dérivée temporelle de cette expression, U point est égal à U1 point plus U2 point. Le système global est isolé, ce qui signifie que l'énergie interne U du système est une constante, donc U point égal 0. Par conséquent, on a l'identité suivante, U1 point est égal à moins U2 point. On doit maintenant tenir compte explicitement de l'extensivité des variables d'état. Commençons par l'entropie. L'entropie S du système est la somme des entropies S1 et S2 des 2 sous-systèmes. Le volume V du système est la somme des volumes V1 et V2 des 2 sous-systèmes. Le nombre de moles N du système est la somme du nombre de moles N1 et N2 des 2 sous-systèmes. On peut maintenant prendre la dérivée temporelle des variables d'état. S point est égal à S1 point plus S2 point. V point est égal à V1 point plus V2 point. N point est égal à N1 point plus N2 point. On doit maintenant tenir compte du fait que le système est isolé. Si le système est isolé, le nombre de moles du système est une constante, donc N point égal 0, ceci implique que N1 point est égal à moins N2 point. Et puis, le volume est constant, ce qui signifie que V point égal 0, par conséquent, V1 point est égal à moins V2 point. Compte tenu des relations qu'on a établit pour U1 point et U2 point, on peut maintenant en tirer des expressions explicites, pour les dérivées temporelles de l'entropie des 2 sous-systèmes, c'est-à -dire S1 point et S2 point. S1 point, c'est 1 sur T1, qui multiplie U1 point plus p1 V1 point moins mu 1 N1 point. S2 point, c'est 1 sur T2, qui multiplie U2 point plus p2 V2 point moins mu 2 N2 point. Le système est isolé, on vient de montrer que si le système est isolé, il doit satisfaire 3 relations, tout d'abord, U2 point qui est égal à moins U1 point, ensuite, V2 point qui est égal à moins V1 point, et finalement, N2 point qui est égal à moins N1 point. En sommant, les 2 expressions qu'on a obtenues pour les dérivées temporelles de l'entropie des 2 sous-systèmes, on obtient la dérivée temporelle de l'entropie du système, S point. En tenant compte, bien entendu, des 3 relations obtenues pour le système isolé. Le premier terme, c'est 1 sur T1 moins 1 sur T2 qui multiplie U1 point. Le deuxième terme, c'est p1 sur T1 moins p2 sur T2 qui multiplie V1 point. Et le troisième terme, c'est moins mu 1 sur T1 moins mu 2 sur T2 qui multiplie N1 point. Afin de pouvoir extraire de cette expression de la dérivée temporelle de l'entropie et des dérivées partielles de l'entropie par rapport à U1, V1 et N1, on va multiplier cette expression par l'intervalle de temps infinitésimal dt. Et on obtient dans le membre de gauche, dS qui est égal à S point dt. Et dans le membre de droite, on a 3 termes. Le premier est proportionnel à dU1 qui est égal à U1 point dt, le deuxième terme est proportionnel à dV1 qui est égal à V1 point dt, et le troisième terme est proportionnel à dN1 qui est égal à N1 point dt. On en déduit donc 3 dérivées partielles de l'entropie. La première, c'est la dérivée partielle de l'entropie S par rapport à U1, d rond S sur d rond U1, qui est égal à 1 sur T1 moins 1 sur T2. La deuxième, c'est la dérivée partielle de l'entropie par rapport au volume V1, d rond S sur d rond V1, qui est égal à p1 sur T1 moins p2 sur T2. La troisième, c'est la dérivée partielle de l'entropie S par rapport à N1, d rond S sur d rond N1, qui est égal à mu 2 sur T2 moins mu 1 sur T1. La condition d'équilibre du deuxième principe requiert que l'entropie soit maximale à l'équilibre pour un système isolé. Ceci donne lieu à 3 conditions différentes, sur chacune des dérivées. Chacune des dérivées doit s'annuler, d rond S sur d rond U1 égal 0, d rond S sur d rond V1 égal 0 et d rond S sur d rond N1 égal 0. La première condition implique que T1 est égal à T2. La première condition est donc une condition d'équilibre thermique, la température doit être la même dans les 2 sous-systèmes. Compte tenu de cette condition d'équilibre thermique, la deuxième condition, d rond S sur d rond V1 égal zéro, implique alors que p1 égal p2, elle implique alors la condition d'équilibre mécanique, à savoir que la pression des 2 sous-systèmes doit être la même. Compte tenu de la condition d'équilibre thermique, la dernière condition, d rond S sur d rond N1 égal zéro, implique alors que mu 2 est égal à mu 1. Ceci, c'est la condition d'équilibre chimique, le potentiel chimique des 2 sous-systèmes doit être le même. Par conséquent, la condition d'équilibre global requiert que le système soit à la fois à l'équilibre thermique, à l'équilibre mécanique et à l'équilibre chimique. C'est-à -dire que l'ensemble des fonctions d'état intensives qui sont conjuguées aux variables d'état extensives des sous-systèmes, soient les mêmes dans les 2 sous-systèmes. [AUDIO_VIDE]
