Bonjour et bienvenue à ce MOOC de thermodynamique. Cette leçon est consacrée à l'équilibre mécanique et au transfert mécanique. Pour ce faire, on va considérer un système isolé qui est constitué de 2 sous-systèmes simples, qui sont séparés par une paroi diatherme, mobile et imperméable. Dans un premier temps, on va établir la condition d'équilibre mécanique, et dans un deuxième temps, on va examiner le transfert mécanique. On considère donc un système isolé qui est constitué de 2 sous-systèmes simples : sous-système simple 1, ici, et sous-système simple 2, là , qui sont séparés par une paroi diatherme, mobile et imperméable. Vu que le système est isolé, la puissance thermique PQ et la puissance mécanique PW, qui sont exercées par l'extérieur sur le système, sont nulles. Pour caractériser la thermodynamique de ce système, il faut 2 types de variables d'état extensives : d'abord l'entropie, ensuite le volume. Pour chaque sous-système simple, il faut une variable entropie et une variable volume. Les 4 variables d'état sont donc S1, S2, V1 et V2. On suppose que ce système a déjà atteint l'état d'équilibre thermique. Quand un système atteint l'équilibre thermique, cela veut dire que les 2 sous-systèmes ont la même température. La température est une fonction d'état ; c'est donc une fonction des variables d'état de chaque sous-système. Par conséquent, l'équilibre thermique s'écrit de la façon suivante : la température T du premier sous-système, qui est une fonction de S1 et de V1, est égale à la température T du deuxième sous-système, qui est une fonction de S2 et de V2. L'énergie interne, la température et la pression sont des fonctions d'état. Ce sont donc des fonctions des variables d'état de chaque sous-système. U1 point, c'est T S1 point, moins p1 V1 point. Le premier principe nous affirme que la cause de la variation temporelle de U1 ce sont les puissances thermique et mécanique qui sont exercées par le deuxième sous-système sur le premier sous-système, à savoir PQ(21) et PW(21). De manière similaire, U2 point c'est T S2 point, moins p2 V2 point. Et la cause de la variation de l'énergie interne du deuxième sous-système, d'après le premier principe, c'est la puissance thermique et la puissance mécanique exercée par le premier sous-système sur le deuxième sous-système, c'est-à -dire PQ(12) et PW(12). L'énergie interne est une fonction d'état. Donc, l'énergie interne U pour l'ensemble du système est une fonction de l'ensemble des variables d'état du système, c'est-à -dire que c'est une fonction de S1, S2, V1 et V2. C'est une fonction d'état extensive. Donc, l'énergie interne U du système est la somme de l'énergie interne U1 du sous-système 1 et de l'énergie interne U2 du sous-système 2. On peut maintenant prendre la dérivée temporelle de cette relation : U point c'est U1 point plus U2 point. D'après le premier principe, U1 point c'est PQ(21) plus PW(21), et U2 point c'est PQ(12) plus PW(12). Par conséquent, si le système est isolé, le premier principe nous affirme que U point est nul. Donc on en tire 2 identités. Tout d'abord, U1 point qui est égal à moins U2 point, et PQ(12) plus PW(12) qui est égal à moins PQ(21) moins PW(21). On doit maintenant tenir compte explicitement de l'extensivité de l'entropie et du volume. L'entropie est une variable d'état extensive. Donc, l'entropie S du système est la somme de l'entropie S1 du premier sous-système et de l'entropie S2 du deuxième sous-système. Le volume est aussi une variable d'état extensive. Par conséquent, le volume V du système est la somme du volume V1 du premier sous-système et du volume V2 du deuxième sous-système. On peut maintenant prendre les dérivées temporelles de ces variables d'état. Tout d'abord S point qui est égal à S1 point plus S2 point. Ensuite, V point qui est égal à V1 point plus V2 point. Finalement, on tient compte explicitement du fait que le système est isolé. Si le système est isolé, d'après le deuxième principe, S point est égal à pi de S, qui est positif ou nul. Et si le système est isolé, le volume du système est constant, donc V point est nul, ce qui implique que V1 point est égal à moins V2 point. Par conséquent, si le volume d'un sous-système augmente, le volume de l'autre sous-système va diminuer, et vice-versa. À l'aide de l'expression qu'on a établie tout à l'heure pour U1 point et U2 point, on peut maintenant en déduire des expressions pour S1 point et S2 point. S1 point c'est 1 sur la température qui multiplie U1 point, plus p1 V1 point ; et S2 point c'est 1 sur T qui multiplie U2 point, plus p2 V2 point. On va maintenant tenir compte explicitement du fait que le système est isolé, c'est-à -dire que U2 point est égal à moins U1 point et que V2 point est égal à moins V1 point. Ce qui nous permet de déduire l'expression explicite, la dérivée temporelle de l'entropie du système S point, qui est la somme de S1 point et de S2 point. Ceci s'écrit donc : 1 sur T qui multiplie p1 moins p2, le tout fois V1 point. On va maintenant remettre en forme cette équation pour faire apparaître explicitement des différentielles. On la multiplie par l'intervalle de temps infinitésimal dt, et on obtient dans le nombre de gauche dS, et dans le nombre de droite le dernier terme est la différentielle du volume du premier sous-système, c'est-à -dire dV1. On peut donc maintenant prendre la dérivée partielle de l'entropie par rapport au volume du premier sous-système : d rond S sur d rond V1 qui est égal à 1 sur T qui multiplie la différence des pressions, c'est-à -dire p1 moins p2. Le deuxième principe de la thermodynamique, et plus exactement la condition d'équilibre du deuxième principe, affirme que l'entropie est maximale à l'équilibre. Par conséquent, à l'équilibre, la dérivée partielle de l'entropie par rapport au volume du premier sous-système, c'est-à -dire d rond S sur d rond V1 est nul. Compte tenu de l'expression qui se trouve sur la première ligne, c'est-à -dire d rond S sur d rond V1 égal 1 sur T qui multiplie p1 moins p2, compte tenu de cette expression du maximum d'entropie, on obtient la condition d'équilibre mécanique. À savoir que les termes qui se trouvent entre parenthèses dans la première expression doivent s'annuler, ce qui implique, qu'à l'équilibre mécanique, la pression du premier sous-système p1 doit être égale à la pression du deuxième sous-système p2. Par conséquent, le premier et le deuxième principes requièrent que les pressions des sous-systèmes aient la même valeur à l'équilibre mécanique. Avant que le système atteigne l'état d'équilibre mécanique, il y a un transfert mécanique qui s'opère entre les 2 sous-systèmes. L'équilibre mécanique est caractérisé par l'égalité des pressions des 2 sous-systèmes. Par conséquent, durant le transfert mécanique, la pression p1 du premier sous-système est différente de la pression p2 du deuxième sous-système. Pour examiner ce transfert mécanique, on va se baser sur l'expression de la dérivée temporelle de l'entropie S point c'est 1 sur T qui multiplie p1 moins p2, fois V1 point ; p1 est différent de p2. De plus, vu qu'il y a transfert mécanique, le volume V1 du premier sous-système va varier, donc il est non nul ; ce qui implique que S point est non nul. De plus, on a un système qui est isolé. Pour un système isolé, S point est égal au taux de production d'entropie pi de S. Vu que S point est non nul et qu'il est égal à pi de S, il doit donc être positif ; ce qui signifie qu'on a à faire à un processus irréversible. L'expression explicite du taux de production d'entropie est donc la suivante : pi de S c'est 1 sur la température, qui multiplie p1 moins p2, fois V1 point, et pi de S est positif. Il faut maintenant distinguer 2 cas de figure. Dans le premier cas, on considère que la pression p1 du premier sous-système est supérieure à la pression p2 du deuxième sous-système. Ceci implique que la différence des 2 termes qui se trouvent ici entre parenthèses est positive. Par conséquent, pour que pi de S soit positif, il faut que V1 point soit lui aussi positif. La puissance mécanique exercée par le premier sous-système sur le deuxième sous-système, PW(12), est définie comme moins p1 V2 point. On sait par ailleurs que V2 point est égal à moins V1 point. Donc, PW(12) c'est p1 V1 point, qui est positif. Par conséquent, si la pression p1 du premier sous-système est supérieure à la pression p2 du deuxième sous-système, il y a un travail qui est effectué par le premier sous-système sur le deuxième sous-système ; c'est-à -dire que la paroi va se déplacer vers la droite. Deuxième cas de figure, p2 est supérieure à p1. Dans ce cas-là , la différence des 2 termes qui apparaissent dans l'expression du taux de production d'entropie est négative. Pour que pi de S soit défini positif, il faut alors que V1 point soit aussi négative. La puissance mécanique exercée par le sous-système 2 sur le sous-système 1, PW(21), est définie comme moins p2 V1 point, qui est donc positive. Par conséquent, si la pression p2 du sous-système 2 est supérieure à la pression p1 du sous-système 1, le sous-système 2 va effectuer un travail sur le sous-système 1. Ce travail va correspondre à un déplacement de la paroi vers la gauche. Par conséquent, lors d'un transfert mécanique, le travail est effectué par le sous-système dont la pression est la plus élevée, on va la noter p plus, sur le sous-système dont la pression est la moins élevée, on va la noter p moins. Ce transfert mécanique est un processus qui est irréversible ; c'est-à -dire que pi de S est positif. Ce transfert mécanique va progressivement amener le système vers un état d'équilibre mécanique. Et à l'équilibre mécanique, p1 est égale à p2 ; c'est-à -dire que le transfert mécanique est nul.
